Номер 15.1, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.1. Вычислите значение выражения:

1) $2\cos 0^\circ + 3\sin 90^\circ$;

2) $4\operatorname{tg} 180^\circ - 2\operatorname{ctg} 90^\circ$;

3) $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ$;

4) $\sin 45^\circ \cos 60^\circ \operatorname{ctg} 30^\circ$;

5) $\sin 0 + \operatorname{tg} \pi - \sin \frac{3\pi}{2}$;

6) $5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi$;

7) $2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6}$;

8) $\sin \frac{\pi}{3} \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{6} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}$.

1) $2\cos 0^\circ + 3\sin 90^\circ$.
Для решения используем значения тригонометрических функций для стандартных углов: $\cos 0^\circ = 1$ и $\sin 90^\circ = 1$.
Подставляем эти значения в выражение:
$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$.
Ответ: 5

2) $4\text{tg } 180^\circ - 2\text{ctg } 90^\circ$.
Значения функций: $\text{tg } 180^\circ = 0$ и $\text{ctg } 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$.
Подставляем значения в выражение:
$4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Ответ: 0

3) $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ$.
Значения функций: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5

4) $\sin 45^\circ \cos 60^\circ \text{ ctg } 30^\circ$.
Значения функций: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\text{ctg } 30^\circ = \sqrt{3}$.
Подставляем значения в выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

5) $\sin 0 + \text{tg } \pi - \sin \frac{3\pi}{2}$.
Значения функций для углов в радианах: $\sin 0 = 0$, $\text{tg } \pi = 0$, $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$.
Подставляем значения в выражение:
$0 + 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

6) $5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi$.
Значения функций: $\cos \pi = -1$, $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$, $\cos 2\pi = 1$.
Подставляем значения в выражение:
$5 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = -5 + 0 + 2 = -3$.
Ответ: -3

7) $2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6}$.
Значения функций: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} = 1,75$.
Ответ: 1,75

8) $\sin \frac{\pi}{3} \text{tg}^2 \frac{\pi}{6} \text{ctg } \frac{\pi}{6}$.
Упростим выражение, зная что $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
$\text{tg}^2 \frac{\pi}{6} \text{ctg } \frac{\pi}{6} = (\text{tg } \frac{\pi}{6} \cdot \text{ctg } \frac{\pi}{6}) \cdot \text{tg } \frac{\pi}{6} = 1 \cdot \text{tg } \frac{\pi}{6} = \text{tg } \frac{\pi}{6}$.
Выражение принимает вид: $\sin \frac{\pi}{3} \cdot \text{tg } \frac{\pi}{6}$.
Значения функций: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Подставляем значения:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5