Номер 8, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8. Чему равен $tg(\alpha + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$? $ctg(\alpha + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$?

tg(α + πn), где n ∈ ℤ

Для решения этого вопроса используется свойство периодичности функции тангенс. Наименьший положительный период функции $ y = \operatorname{tg}(x) $ равен $ \pi $. Это означает, что для любого целого числа $ k $ выполняется следующее равенство: $ \operatorname{tg}(x + \pi k) = \operatorname{tg}(x) $.

В выражении $ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) $, к аргументу $ \alpha $ прибавляется слагаемое $ \pi n $. Поскольку по условию $ n $ является целым числом ($ n \in \mathbb{Z} $), слагаемое $ \pi n $ представляет собой целое число периодов функции тангенс. Следовательно, значение функции не изменяется.

$ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{tg}(\alpha) $

Это равенство также можно доказать, используя определение тангенса через синус и косинус, а также формулы приведения.

$ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \frac{\sin(\alpha + \pi n)}{\cos(\alpha + \pi n)} $

Для любого целого $ n $ справедливы формулы приведения: $ \sin(\alpha + \pi n) = (-1)^n \sin(\alpha) $ $ \cos(\alpha + \pi n) = (-1)^n \cos(\alpha) $

Подставив эти выражения в исходную дробь, получаем: $ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \frac{(-1)^n \sin(\alpha)}{(-1)^n \cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \operatorname{tg}(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{tg}(\alpha) $

ctg(α + πn), где n ∈ ℤ

Решение для котангенса полностью аналогично. Функция котангенс, $ y = \operatorname{ctg}(x) $, также является периодической, и её наименьший положительный период равен $ \pi $. Поэтому для любого целого числа $ k $ верно равенство: $ \operatorname{ctg}(x + \pi k) = \operatorname{ctg}(x) $.

В выражении $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) $ к аргументу $ \alpha $ прибавляется $ \pi n $. Так как $ n \in \mathbb{Z} $, это слагаемое является целым кратным периода функции котангенс. Таким образом, значение функции не меняется.

$ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{ctg}(\alpha) $

Доказательство через определение котангенса и формулы приведения: $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \frac{\cos(\alpha + \pi n)}{\sin(\alpha + \pi n)} $

Используя те же формулы приведения, что и в предыдущем пункте: $ \cos(\alpha + \pi n) = (-1)^n \cos(\alpha) $ $ \sin(\alpha + \pi n) = (-1)^n \sin(\alpha) $

Подставляя эти выражения, получаем: $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \frac{(-1)^n \cos(\alpha)}{(-1)^n \sin(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{ctg}(\alpha) $