Номер 15.5, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.5. Возможно ли равенство:

1) $ \sin \alpha = - \frac{\sqrt{15}}{4}; $

2) $ \cos \alpha = \frac{\pi}{3}; $

3) $ \cos \alpha = \frac{\pi}{4}; $

4) $ \sin \alpha = \frac{9}{8}; $

5) $ \operatorname{tg} \alpha = -4; $

6) $ \operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{26}? $

1) Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $|\sin \alpha| \le 1$. Проверим, выполняется ли это условие для заданного равенства: $|\sin \alpha| = |-\frac{\sqrt{15}}{4}| = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить квадраты этих чисел, так как оба они положительные. $(\frac{\sqrt{15}}{4})^2 = \frac{15}{16}$. Поскольку $\frac{15}{16} < 1$, то и $\frac{\sqrt{15}}{4} < 1$. Условие $|\sin \alpha| \le 1$ выполняется, следовательно, данное равенство возможно.
Ответ: да.

2) Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $|\cos \alpha| \le 1$. Проверим это условие: $|\cos \alpha| = |\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$. Так как $1.047 > 1$, то $|\cos \alpha| > 1$. Условие не выполняется, следовательно, данное равенство невозможно.
Ответ: нет.

3) Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $|\cos \alpha| \le 1$. Проверим это условие для $\cos \alpha = \frac{\pi}{4}$: $|\cos \alpha| = |\frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$. Так как $0.785 < 1$, то $|\cos \alpha| < 1$. Условие выполняется, следовательно, данное равенство возможно.
Ответ: да.

4) Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $|\sin \alpha| \le 1$. Проверим это условие для $\sin \alpha = \frac{9}{8}$: $|\sin \alpha| = |\frac{9}{8}| = \frac{9}{8} = 1.125$. Так как $1.125 > 1$, то $|\sin \alpha| > 1$. Условие не выполняется, следовательно, данное равенство невозможно.
Ответ: нет.

5) Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Число -4 является действительным числом и принадлежит этой области значений. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.

6) Область значений функции котангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Число $\sqrt{26}$ является действительным числом (приблизительно 5.099) и принадлежит этой области значений. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.