Номер 7, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7. Какова область значений функции $y = \operatorname{tg} x$? $y = \operatorname{ctg} x$?

y = tg x

Область значений функции (или множество значений) — это совокупность всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Мы знаем, что значения функций $\sin x$ и $\cos x$ лежат в пределах от -1 до 1. Однако, когда аргумент $x$ приближается к значениям, при которых знаменатель $\cos x$ обращается в ноль (то есть, $x \to \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число), значение тангенса неограниченно растет или убывает.

Например, если $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ слева (обозначается $x \to \frac{\pi}{2}^-$), то $\sin x$ стремится к 1, а $\cos x$ стремится к 0, оставаясь положительным. В результате, значение дроби $\frac{\sin x}{\cos x}$ стремится к положительной бесконечности ($\tg x \to +\infty$).

Если же $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ справа (обозначается $x \to \frac{\pi}{2}^+$), то $\sin x$ снова стремится к 1, но $\cos x$ стремится к 0, будучи отрицательным. В этом случае значение дроби стремится к отрицательной бесконечности ($\tg x \to -\infty$).

Так как функция тангенса непрерывна на всей своей области определения, она принимает все возможные действительные значения.

Ответ: Областью значений функции $y = \tg x$ является множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

y = ctg x

Функция котангенса определяется как отношение косинуса к синусу: $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Рассуждения аналогичны случаю с тангенсом. Значение функции не определено, когда знаменатель $\sin x$ равен нулю (то есть, при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число). В окрестности этих точек значение котангенса стремится к бесконечности.

Например, если $x$ стремится к $0$ справа ($x \to 0^+$), то $\cos x$ стремится к 1, а $\sin x$ стремится к 0, оставаясь положительным. В результате, значение $\ctg x$ стремится к положительной бесконечности ($\ctg x \to +\infty$).

Если же $x$ стремится к $0$ слева ($x \to 0^-$), то $\cos x$ стремится к 1, а $\sin x$ стремится к 0, будучи отрицательным. В этом случае значение $\ctg x$ стремится к отрицательной бесконечности ($\ctg x \to -\infty$).

Поскольку функция котангенса непрерывна на своей области определения, она может принимать любое действительное значение.

Ответ: Областью значений функции $y = \ctg x$ является множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.