Номер 1, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют косинусом угла поворота? Синусом угла поворота? тангенсом угла поворота? Котангенсом угла поворота?

Для определения тригонометрических функций для произвольного угла поворота используется единичная окружность в декартовой системе координат. Это окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом, равным единице ($R=1$). Начальное положение радиуса — на положительной части оси абсцисс, его конец находится в точке $P_0(1, 0)$. При повороте этого радиуса на угол $\alpha$ (положительное направление — против часовой стрелки) его конечная точка перемещается в точку $P_\alpha(x, y)$. Координаты этой точки и лежат в основе определений синуса и косинуса.

Косинусом угла поворота

Косинусом угла поворота $\alpha$ называют абсциссу (координату $x$) точки $P_\alpha(x, y)$, в которую переходит начальная точка $P_0(1, 0)$ на единичной окружности при повороте на угол $\alpha$ вокруг начала координат.
Таким образом, $\cos(\alpha) = x$.

Ответ: Косинусом угла поворота $\alpha$ называют абсциссу точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$.

Синусом угла поворота

Синусом угла поворота $\alpha$ называют ординату (координату $y$) точки $P_\alpha(x, y)$, в которую переходит начальная точка $P_0(1, 0)$ на единичной окружности при повороте на угол $\alpha$ вокруг начала координат.
Таким образом, $\sin(\alpha) = y$.

Ответ: Синусом угла поворота $\alpha$ называют ординату точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$.

Тангенсом угла поворота

Тангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение синуса этого угла к его косинусу.
Формула: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Поскольку на единичной окружности $\sin(\alpha) = y$ и $\cos(\alpha) = x$, то $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$.
Тангенс определен для всех углов, кроме тех, где косинус равен нулю, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: Тангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение синуса угла $\alpha$ к его косинусу.

Котангенсом угла поворота

Котангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение косинуса этого угла к его синусу.
Формула: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Используя координаты точки на единичной окружности, получаем: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$.
Котангенс определен для всех углов, кроме тех, где синус равен нулю, то есть $\alpha \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: Котангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение косинуса угла $\alpha$ к его синусу.