Номер 14.19, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.19. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$

2) $-\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

4) $\pi k, k \in \mathbb{Z};$

5) $2\pi k, k \in \mathbb{Z};$

6) $\frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}.$

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, находятся по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов ($k$ оборотов), которые не изменяют положение точки на окружности. Следовательно, для любого целого $k$ точка будет той же, что и при повороте на угол $\frac{\pi}{6}$.

Найдем координаты точки:

$x = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.

2) $ -\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k$. Слагаемое $4\pi k = 2k \cdot 2\pi$ представляет собой $2k$ полных оборотов, которые также не изменяют положение точки. Поэтому координаты точки будут такими же, как и при повороте на угол $-\frac{\pi}{2}$.

Найдем координаты точки:

$x = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(0; -1)$.

3) $ \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$. В этом случае положение точки зависит от четности числа $k$.

Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$ для $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Координаты точки:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Точка $(0; 1)$.

Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n+1$ для $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Координаты точки:

$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Точка $(0; -1)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(0; 1)$ и $(0; -1)$.

4) $ \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \pi k$. Положение точки также зависит от четности $k$.

Если $k$ — четное число ($k = 2n$), то $\alpha = 2\pi n$. Это соответствует повороту на целое число полных оборотов, т.е. точка остается в исходном положении.

$x = \cos(0) = 1$, $y = \sin(0) = 0$. Точка $(1; 0)$.

Если $k$ — нечетное число ($k = 2n+1$), то $\alpha = \pi(2n+1) = \pi + 2\pi n$. Это соответствует повороту на пол-оборота.

$x = \cos(\pi) = -1$, $y = \sin(\pi) = 0$. Точка $(-1; 0)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

5) $ 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота $\alpha = 2\pi k$ соответствует $k$ полным оборотам. При любом целом значении $k$ точка возвращается в свое начальное положение $P_0(1; 0)$.

Координаты точки:

$x = \cos(2\pi k) = 1$

$y = \sin(2\pi k) = 0$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(1; 0)$.

6) $ \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi k}{3}$. Точки на окружности будут повторяться с периодом $n$, для которого $\frac{\pi n}{3}$ кратно $2\pi$. Наименьшее такое натуральное $n$ равно 6. Следовательно, мы получим 6 различных точек, соответствующих значениям $k$ от 0 до 5.

При $k=0$: $\alpha=0$. Точка $(\cos(0); \sin(0)) = (1; 0)$.

При $k=1$: $\alpha=\frac{\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{\pi}{3}); \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=2$: $\alpha=\frac{2\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{2\pi}{3}); \sin(\frac{2\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=3$: $\alpha=\pi$. Точка $(\cos(\pi); \sin(\pi)) = (-1; 0)$.

При $k=4$: $\alpha=\frac{4\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{4\pi}{3}); \sin(\frac{4\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=5$: $\alpha=\frac{5\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{5\pi}{3}); \sin(\frac{5\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=6$, угол равен $2\pi$, и точка совпадает с точкой для $k=0$. Всего 6 различных точек.

Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.