Страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.18. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 (0; -1);$

2) $P_2 \left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

3) $P_3 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат переводит ее в точку $P_\alpha$ с координатами $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Наша задача — найти все углы $\alpha$, для которых точка $P_\alpha$ совпадает с заданной точкой $P(x; y)$. Это означает, что нам нужно решить систему уравнений для каждого случая:

$\begin{cases} \cos \alpha = x \\ \sin \alpha = y \end{cases}$

Поскольку тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$ (или $360^\circ$), общее решение будет иметь вид $\alpha = \alpha_0 + 2\pi n$, где $\alpha_0$ — одно из частных решений, а $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

1) $P_1(0; -1)$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых:

$\begin{cases} \cos \alpha = 0 \\ \sin \alpha = -1 \end{cases}$

На единичной окружности этим условиям соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси OY. Это соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $270^\circ$). Учитывая периодичность, все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0$, чтобы получить точку $P_1$, выражаются формулой:

$\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых:

$\begin{cases} \cos \alpha = \frac{1}{2} \\ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Это табличные значения для тригонометрических функций. Точка с такими координатами находится в первой четверти единичной окружности, так как и косинус, и синус положительны. Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, а синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, — это $\frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$). С учетом периодичности общее решение имеет вид:

$\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $P_3(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых:

$\begin{cases} \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

Оба значения, косинус и синус, отрицательны. Это означает, что точка находится в третьей четверти единичной окружности. Опорный угол $\beta$, для которого $\cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $\beta = \frac{\pi}{4}$. Для третьей четверти искомый угол $\alpha$ равен $\pi + \beta$.

$\alpha = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение с учетом периодичности:

$\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

14.19. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$

2) $-\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z};$

3) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

4) $\pi k, k \in \mathbb{Z};$

5) $2\pi k, k \in \mathbb{Z};$

6) $\frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}.$

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, находятся по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов ($k$ оборотов), которые не изменяют положение точки на окружности. Следовательно, для любого целого $k$ точка будет той же, что и при повороте на угол $\frac{\pi}{6}$.

Найдем координаты точки:

$x = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.

2) $ -\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k$. Слагаемое $4\pi k = 2k \cdot 2\pi$ представляет собой $2k$ полных оборотов, которые также не изменяют положение точки. Поэтому координаты точки будут такими же, как и при повороте на угол $-\frac{\pi}{2}$.

Найдем координаты точки:

$x = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(0; -1)$.

3) $ \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$. В этом случае положение точки зависит от четности числа $k$.

Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$ для $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Координаты точки:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Точка $(0; 1)$.

Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n+1$ для $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Координаты точки:

$x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Точка $(0; -1)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(0; 1)$ и $(0; -1)$.

4) $ \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \pi k$. Положение точки также зависит от четности $k$.

Если $k$ — четное число ($k = 2n$), то $\alpha = 2\pi n$. Это соответствует повороту на целое число полных оборотов, т.е. точка остается в исходном положении.

$x = \cos(0) = 1$, $y = \sin(0) = 0$. Точка $(1; 0)$.

Если $k$ — нечетное число ($k = 2n+1$), то $\alpha = \pi(2n+1) = \pi + 2\pi n$. Это соответствует повороту на пол-оборота.

$x = \cos(\pi) = -1$, $y = \sin(\pi) = 0$. Точка $(-1; 0)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

5) $ 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота $\alpha = 2\pi k$ соответствует $k$ полным оборотам. При любом целом значении $k$ точка возвращается в свое начальное положение $P_0(1; 0)$.

Координаты точки:

$x = \cos(2\pi k) = 1$

$y = \sin(2\pi k) = 0$

Таким образом, мы получаем одну точку.

Ответ: $(1; 0)$.

6) $ \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi k}{3}$. Точки на окружности будут повторяться с периодом $n$, для которого $\frac{\pi n}{3}$ кратно $2\pi$. Наименьшее такое натуральное $n$ равно 6. Следовательно, мы получим 6 различных точек, соответствующих значениям $k$ от 0 до 5.

При $k=0$: $\alpha=0$. Точка $(\cos(0); \sin(0)) = (1; 0)$.

При $k=1$: $\alpha=\frac{\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{\pi}{3}); \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=2$: $\alpha=\frac{2\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{2\pi}{3}); \sin(\frac{2\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=3$: $\alpha=\pi$. Точка $(\cos(\pi); \sin(\pi)) = (-1; 0)$.

При $k=4$: $\alpha=\frac{4\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{4\pi}{3}); \sin(\frac{4\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=5$: $\alpha=\frac{5\pi}{3}$. Точка $(\cos(\frac{5\pi}{3}); \sin(\frac{5\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=6$, угол равен $2\pi$, и точка совпадает с точкой для $k=0$. Всего 6 различных точек.

Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

14.20. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$;

2) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$;

3) $\frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам:

$x = \cos \alpha$

$y = \sin \alpha$

1) $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

В данном случае угол поворота равен $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов, которые не влияют на конечное положение точки на окружности. Поэтому для любого целого значения $k$ мы получаем одну и ту же точку, положение которой определяется углом $\frac{3\pi}{4}$.

Найдем координаты этой точки:

$x = \cos(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, все углы этого вида соответствуют одной точке.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) $ -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$. Слагаемое $\pi k$ соответствует повороту на $180^\circ \cdot k$. Это означает, что в зависимости от четности $k$ мы будем получать разные точки, диаметрально противоположные друг другу.

Рассмотрим два случая:

1. Если $k$ — четное число (например, $k=0$), то угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.

Координаты точки:

$x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Получаем точку $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2. Если $k$ — нечетное число (например, $k=1$), то угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.

Координаты точки:

$x = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Получаем точку $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

При других значениях $k$ эти две точки будут повторяться.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

3) $ \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi k}{2}$. Рассмотрим последовательные целые значения $k$, чтобы найти все уникальные точки.

• При $k=0$: $\alpha = 0$. Координаты: $(\cos 0; \sin 0) = (1; 0)$.
• При $k=1$: $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Координаты: $(\cos \frac{\pi}{2}; \sin \frac{\pi}{2}) = (0; 1)$.
• При $k=2$: $\alpha = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Координаты: $(\cos \pi; \sin \pi) = (-1; 0)$.
• При $k=3$: $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. Координаты: $(\cos \frac{3\pi}{2}; \sin \frac{3\pi}{2}) = (0; -1)$.

При $k=4$ угол равен $\alpha = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$, что соответствует той же точке, что и при $k=0$. Таким образом, существует 4 различные точки, которые циклически повторяются при увеличении $k$. Эти точки являются точками пересечения единичной окружности с осями координат.

Ответ: $(1; 0)$, $(0; 1)$, $(-1; 0)$, $(0; -1)$.

14.21. Докажите, что площадь сектора, содержащего дугу в $ \alpha $ рад, можно вычислить по формуле $ S = \frac{\alpha R^2}{2} $, где $ R $ – радиус окружности.

Для доказательства данной формулы воспользуемся методом пропорций, исходя из известной формулы площади круга.

Площадь всего круга с радиусом $R$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Полный угол, который соответствует всему кругу, составляет $2\pi$ радиан.

Площадь сектора круга прямо пропорциональна величине его центрального угла. Пусть $S$ — это площадь искомого сектора, а $\alpha$ — его центральный угол, выраженный в радианах.

Мы можем составить пропорцию: отношение площади сектора к площади всего круга равно отношению центрального угла сектора к полному углу круга.

$\frac{S}{S_{круга}} = \frac{\alpha}{2\pi}$

Теперь подставим в данное соотношение выражение для площади круга $S_{круга} = \pi R^2$:

$\frac{S}{\pi R^2} = \frac{\alpha}{2\pi}$

Для того чтобы найти площадь сектора $S$, выразим ее из этой пропорции:

$S = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi R^2$

Сократив $\pi$ в числителе и знаменателе правой части уравнения, мы получаем требуемую формулу:

$S = \frac{\alpha R^2}{2}$

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказано, что площадь сектора с центральным углом $\alpha$ радиан и радиусом $R$ вычисляется по формуле $S = \frac{\alpha R^2}{2}$.

14.22. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3};$

2) $\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}.$

1) $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители, при условии, что решение не будет противоречить ОДЗ.

$x^2 - 6 = x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются числа $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, поэтому он является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 \neq 3$.

Ответ: $-2$.

2) $\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все знаменатели должны быть отличны от нуля:

$x \neq 0$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x^2 - 2x = x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 2)$.

$\frac{(3x - 1)(x - 2)}{x(x - 2)} - \frac{4x}{x(x - 2)} = \frac{10 - 9x}{x(x - 2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x - 2)$, чтобы избавиться от дробей (при этом помним об ОДЗ):

$(3x - 1)(x - 2) - 4x = 10 - 9x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 6x - x + 2 - 4x = 10 - 9x$

$3x^2 - 11x + 2 = 10 - 9x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 11x + 9x + 2 - 10 = 0$

$3x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

14.23. В некотором городе проживает 88 200 жителей. Сколько жителей было в этом городе два года назад, если ежегодный прирост населения составлял 5 %?

Это задача на обратное вычисление сложных процентов. Пусть $N_0$ — это количество жителей в городе два года назад. Текущее население, 88 200 жителей, было получено после двух последовательных увеличений на 5%.

Ежегодный прирост на 5% эквивалентен умножению на коэффициент $1 + \frac{5}{100} = 1,05$.

Пусть $N_1$ — население год назад, а $N_2$ — текущее население. Тогда:
Население год назад: $N_1 = N_0 \times 1,05$.
Текущее население: $N_2 = N_1 \times 1,05 = (N_0 \times 1,05) \times 1,05 = N_0 \times (1,05)^2$.

Мы знаем, что $N_2 = 88 \ 200$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти $N_0$:
$88 \ 200 = N_0 \times (1,05)^2$

Сначала вычислим $(1,05)^2$:
$(1,05)^2 = 1,1025$

Теперь найдем $N_0$, разделив текущее население на полученный коэффициент:
$N_0 = \frac{88 \ 200}{1,1025}$
$N_0 = 80 \ 000$

Таким образом, два года назад в городе проживало 80 000 жителей.

Проверка:
Население 2 года назад: 80 000.
Население 1 год назад: $80 \ 000 \times 1,05 = 84 \ 000$ жителей.
Текущее население: $84 \ 000 \times 1,05 = 88 \ 200$ жителей.
Расчеты верны.

Ответ: 80 000 жителей.