Страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.10. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $127^{\circ}$;

2) $89^{\circ}$;

3) $276^{\circ}$;

4) $400^{\circ}$;

5) $600^{\circ}$;

6) $750^{\circ}$;

7) $-400^{\circ}$;

8) $-470^{\circ}$;

9) $\frac{\pi}{5}$;

10) $-\frac{7\pi}{6}$;

11) $-1,8\pi$;

12) $2,4\pi$;

13) $3$;

14) $6$;

15) $-2?`$

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности, мы сравниваем угол поворота с границами координатных четвертей. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки от положительного направления оси Ox, отрицательные — по часовой стрелке.

• I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
• II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
• III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
• IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

Для углов, больших $360^\circ$ или меньших $0^\circ$, мы можем добавлять или вычитать полные обороты ($360^\circ$ или $2\pi$ радиан), чтобы привести угол в диапазон от $0^\circ$ до $360^\circ$.

1) 127°

Угол $\alpha = 127^\circ$. Поскольку $90^\circ < 127^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) 89°

Угол $\alpha = 89^\circ$. Поскольку $0^\circ < 89^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

3) 276°

Угол $\alpha = 276^\circ$. Поскольку $270^\circ < 276^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

4) 400°

Угол $\alpha = 400^\circ$ больше $360^\circ$. Найдем эквивалентный угол в основном диапазоне: $400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$. Поскольку $0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

5) 600°

Угол $\alpha = 600^\circ$. Вычтем полный оборот: $600^\circ - 360^\circ = 240^\circ$. Поскольку $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

6) 750°

Угол $\alpha = 750^\circ$. Вычтем два полных оборота: $750^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 750^\circ - 720^\circ = 30^\circ$. Поскольку $0^\circ < 30^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

7) -400°

Угол $\alpha = -400^\circ$. Прибавим два полных оборота, чтобы получить положительный угол: $-400^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -400^\circ + 720^\circ = 320^\circ$. Поскольку $270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

8) -470°

Угол $\alpha = -470^\circ$. Прибавим два полных оборота: $-470^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -470^\circ + 720^\circ = 250^\circ$. Поскольку $180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

9) $\frac{\pi}{5}$

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$. Сравним с границами четвертей в радианах: $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$. Точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

10) $-\frac{7\pi}{6}$

Угол $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$. Прибавим полный оборот $2\pi$: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$ (так как $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$), точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

11) -1,8$\pi$

Угол $\alpha = -1,8\pi$. Прибавим полный оборот $2\pi$: $-1,8\pi + 2\pi = 0,2\pi$. Поскольку $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$ (то есть $0 < 0,2\pi < \frac{\pi}{2}$), точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

12) 2,4$\pi$

Угол $\alpha = 2,4\pi$. Вычтем полный оборот $2\pi$: $2,4\pi - 2\pi = 0,4\pi$. Поскольку $0 < 0,4\pi < 0,5\pi$ (то есть $0 < 0,4\pi < \frac{\pi}{2}$), точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

13) 3

Угол $\alpha = 3$ радиана. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Поскольку $1,57 < 3 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

14) 6

Угол $\alpha = 6$ радиан. Используем приближенные значения: $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$. Поскольку $4,71 < 6 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

15) -2

Угол $\alpha = -2$ радиана. Найдем эквивалентный положительный угол: $-2 + 2\pi \approx -2 + 6,28 = 4,28$. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$. Поскольку $3,14 < 4,28 < 4,71$, то есть $\pi < 4,28 < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

14.11. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $94^\circ$;

2) $176^\circ$;

3) $200^\circ$;

4) $-100^\circ$;

5) $-380^\circ$;

6) $700^\circ$;

7) $-800^\circ$;

8) $\frac{3\pi}{4}$;

9) $-\frac{3\pi}{4}$;

10) $-\frac{7\pi}{3}$;

11) $5,5\pi$;

12) $-\frac{11\pi}{6}$;

13) $1$;

14) $-3$;

15) $5?$;

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности после поворота на заданный угол от начальной точки $P_0(1; 0)$, необходимо соотнести угол с диапазонами координатных четвертей. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой.

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов $\alpha$:

• I четверть: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ или $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• II четверть: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$
• III четверть: $180^\circ < \alpha < 270^\circ$ или $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: $270^\circ < \alpha < 360^\circ$ или $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

1) 94°

Так как $90^\circ < 94^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) 176°

Так как $90^\circ < 176^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

3) 200°

Так как $180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

4) -100°

Для отрицательного угла найдем эквивалентный ему положительный угол в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$, прибавив $360^\circ$: $-100^\circ + 360^\circ = 260^\circ$. Так как $180^\circ < 260^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

5) -380°

Приведем угол к диапазону $[0^\circ, 360^\circ)$. Угол $-380^\circ$ отличается от угла $-20^\circ$ на полный оборот ($-380^\circ = -360^\circ - 20^\circ$). Эквивалентный положительный угол: $-20^\circ + 360^\circ = 340^\circ$. Так как $270^\circ < 340^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

6) 700°

Приведем угол к диапазону $[0^\circ, 360^\circ)$, вычитая полный оборот: $700^\circ - 360^\circ = 340^\circ$. Так как $270^\circ < 340^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

7) -800°

Приведем угол к диапазону $[0^\circ, 360^\circ)$, прибавляя полные обороты: $-800^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -800^\circ + 1080^\circ = 280^\circ$. Так как $270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

8) $\frac{3\pi}{4}$

Угол задан в радианах. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$ (или $0.5\pi < 0.75\pi < 1\pi$), точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

9) $-\frac{3\pi}{4}$

Угол задан в радианах. Найдем эквивалентный положительный угол в диапазоне $[0, 2\pi)$: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Так как $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$ (или $1\pi < 1.25\pi < 1.5\pi$), точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

10) $-\frac{7\pi}{3}$

Упростим угол: $-\frac{7\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$. Угол котерминален углу $-\frac{\pi}{3}$. Найдем эквивалентный положительный угол: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ (или $1.5\pi < 1.66...\pi < 2\pi$), точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

11) $5,5\pi$

Приведем угол к диапазону $[0, 2\pi)$: $5.5\pi = 4\pi + 1.5\pi = 2 \cdot (2\pi) + \frac{3\pi}{2}$. Угол котерминален углу $\frac{3\pi}{2}$. Этот угол соответствует точке на отрицательной части оси OY, которая является границей между третьей и четвертой четвертями.

Ответ: Точка находится на границе III и IV четвертей.

12) $-\frac{11\pi}{6}$

Найдем эквивалентный положительный угол: $-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Так как $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

13) 1

Угол равен 1 радиану. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Поскольку $0 < 1 < 1.57$, то есть $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

14) -3

Угол равен -3 радианам. Сравним с границами в радианах: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Угол $-3$ радиана находится между $-\pi$ и $-\frac{\pi}{2}$ (так как $-3.14 < -3 < -1.57$). Движение по часовой стрелке на угол между $90^\circ$ и $180^\circ$ приводит в третью четверть.

Ответ: III четверть.

15) 5

Угол равен 5 радианам. Сравним с границами: $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$. Поскольку $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

14.12. Найдите координаты точки единичной окружности, полученной при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{\pi}{2}$;

2) $\pi$;

3) $-90^{\circ}$;

4) $-180^{\circ}$;

5) $\frac{5\pi}{2}$;

6) $-\frac{3\pi}{2}$;

7) $450^{\circ}$;

8) $-2\pi$.

Для нахождения координат точки на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, используются формулы:

$x = \cos(\alpha)$

$y = \sin(\alpha)$

где $x$ и $y$ — искомые координаты.

1) $\frac{\pi}{2}$

При повороте на угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$ координаты точки будут:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

2) $\pi$

При повороте на угол $\alpha = \pi$ координаты точки будут:

$x = \cos(\pi) = -1$

$y = \sin(\pi) = 0$

Координаты полученной точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

3) $-90^\circ$

Угол $-90^\circ$ соответствует повороту по часовой стрелке на $90^\circ$. В радианах это $-\frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(-90^\circ) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-90^\circ) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

Координаты полученной точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

4) $-180^\circ$

Угол $-180^\circ$ соответствует повороту по часовой стрелке на $180^\circ$. В радианах это $-\pi$.

$x = \cos(-180^\circ) = \cos(-\pi) = -1$

$y = \sin(-180^\circ) = \sin(-\pi) = 0$

Координаты полученной точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

5) $\frac{5\pi}{2}$

Угол $\frac{5\pi}{2}$ больше полного оборота ($2\pi$). Чтобы найти эквивалентный угол в пределах одного оборота, вычтем $2\pi$: $\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

6) $-\frac{3\pi}{2}$

Чтобы найти эквивалентный положительный угол, прибавим $2\pi$: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

7) $450^\circ$

Угол $450^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Вычтем $360^\circ$: $450^\circ - 360^\circ = 90^\circ$.

$x = \cos(450^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

$y = \sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

8) $-2\pi$

Угол $-2\pi$ соответствует полному обороту по часовой стрелке. Точка возвращается в свое начальное положение.

$x = \cos(-2\pi) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(-2\pi) = \sin(0) = 0$

Координаты полученной точки: $(1; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$.

14.13. Какие координаты имеет точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{3\pi}{2}$;

2) $3\pi$;

3) $-\frac{\pi}{2}$;

4) $180^\circ$;

5) $-540^\circ$?

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Точка $P_0(1; 0)$ является начальной точкой, от которой отсчитываются углы поворота (положительные — против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке).

1) $\frac{3\pi}{2}$
Для нахождения координат точки, полученной при повороте на угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, используем тригонометрические функции.
Координата $x$ равна косинусу угла: $x = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.
Координата $y$ равна синусу угла: $y = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

2) $3\pi$
Найдем координаты для угла $\alpha = 3\pi$. Период функций синуса и косинуса равен $2\pi$. Мы можем вычесть полный оборот ($2\pi$), чтобы найти эквивалентный угол: $3\pi = 2\pi + \pi$. Таким образом, поворот на $3\pi$ эквивалентен повороту на $\pi$.
Координата $x$: $x = \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$.
Координата $y$: $y = \sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

3) $-\frac{\pi}{2}$
Найдем координаты для угла $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Этот угол соответствует той же точке на окружности, что и угол $2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Координата $x$: $x = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ (так как косинус — чётная функция).
Координата $y$: $y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$ (так как синус — нечётная функция).
Следовательно, координаты искомой точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

4) $180^\circ$
Сначала переведем градусы в радианы, зная что $180^\circ = \pi$ радиан. Найдем координаты для угла $\alpha = \pi$.
Координата $x$: $x = \cos(180^\circ) = \cos(\pi) = -1$.
Координата $y$: $y = \sin(180^\circ) = \sin(\pi) = 0$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

5) $-540^\circ$
Найдем эквивалентный угол, прибавив полные обороты ($360^\circ$).
$-540^\circ + 360^\circ = -180^\circ$.
Поворот на $-180^\circ$ (по часовой стрелке) приводит в ту же точку, что и поворот на $180^\circ$ (против часовой стрелки).
Можно также представить угол как $-540^\circ = -360^\circ - 180^\circ$.
Координата $x$: $x = \cos(-540^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$.
Координата $y$: $y = \sin(-540^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

14.14. Запишите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(0; 1);$

2) $(-1; 0);$

3) $(0; -1);$

4) $(1; 0).$

Исходная точка $P_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Эта точка находится на единичной окружности и соответствует углу $0^\circ$. Поворот на положительный угол происходит против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

1) Получить точку с координатами (0; 1)

Точка с координатами $(0; 1)$ находится на положительной части оси ординат. Чтобы попасть в неё из точки $(1; 0)$, двигаясь против часовой стрелки, нужно совершить поворот на четверть окружности.

Наименьший положительный угол: это поворот на $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: это поворот по часовой стрелке. Чтобы попасть из $(1; 0)$ в $(0; 1)$ по часовой стрелке, нужно пройти три четверти окружности. Угол такого поворота равен $-(360^\circ - 90^\circ) = -270^\circ$ (или $-\frac{3\pi}{2}$ радиан). Любой другой отрицательный угол (например, $-270^\circ - 360^\circ = -630^\circ$) будет меньше, поэтому $-270^\circ$ — наибольший.

Ответ: наименьший положительный угол $90^\circ$, наибольший отрицательный угол $-270^\circ$.

2) Получить точку с координатами (-1; 0)

Точка с координатами $(-1; 0)$ находится на отрицательной части оси абсцисс. Чтобы попасть в неё из точки $(1; 0)$, нужно совершить поворот на половину окружности.

Наименьший положительный угол: это поворот против часовой стрелки на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: это поворот по часовой стрелке также на половину окружности, что соответствует углу $-180^\circ$ (или $-\pi$ радиан). Это наибольший возможный отрицательный угол.

Ответ: наименьший положительный угол $180^\circ$, наибольший отрицательный угол $-180^\circ$.

3) Получить точку с координатами (0; -1)

Точка с координатами $(0; -1)$ находится на отрицательной части оси ординат.

Наименьший положительный угол: для попадания в эту точку против часовой стрелки нужно совершить поворот на три четверти окружности. Угол равен $270^\circ$ (или $\frac{3\pi}{2}$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: для попадания в эту точку по часовой стрелке нужно совершить поворот на четверть окружности. Угол равен $-90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан). Это наибольший из всех отрицательных углов, так как следующий ($ -90^\circ - 360^\circ = -450^\circ$) меньше.

Ответ: наименьший положительный угол $270^\circ$, наибольший отрицательный угол $-90^\circ$.

4) Получить точку с координатами (1; 0)

Требуется вернуться в исходную точку $P_0(1; 0)$. Это возможно при повороте на целое число полных оборотов.

Наименьший положительный угол: это один полный оборот против часовой стрелки. Угол $0^\circ$ не является положительным, поэтому наименьший положительный угол равен $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: это один полный оборот по часовой стрелке. Угол равен $-360^\circ$ (или $-2\pi$ радиан). Любой другой отрицательный угол (например, $-720^\circ$) будет меньше.

Ответ: наименьший положительный угол $360^\circ$, наибольший отрицательный угол $-360^\circ$.

14.15. Среди углов $400^\circ$, $510^\circ$, $870^\circ$, $1230^\circ$, $-150^\circ$, $-320^\circ$, $-210^\circ$, $-680^\circ$, $-1040^\circ$ укажите те, при повороте на которые точка $P_0 (1; 0)$ займёт то же положение, что и при повороте на угол:

1) $40^\circ$;

2) $150^\circ$.

Точка $P_0(1; 0)$ при повороте на углы $\alpha$ и $\beta$ займет одно и то же положение на единичной окружности, если эти углы отличаются на целое число полных оборотов. Математически это выражается формулой:

$\beta = \alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Это означает, что разность углов $(\beta - \alpha)$ должна быть кратна $360^\circ$.

1)

Найдем среди предложенных углов $\beta$ те, которые соответствуют углу $\alpha = 40^\circ$. Для этого проверим, для каких углов из списка разность $(\beta - 40^\circ)$ делится на $360^\circ$ без остатка.

• Для угла $400^\circ$: $400^\circ - 40^\circ = 360^\circ$. Так как $360^\circ = 360^\circ \cdot 1$, этот угол подходит.

• Для угла $510^\circ$: $510^\circ - 40^\circ = 470^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $870^\circ$: $870^\circ - 40^\circ = 830^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $1230^\circ$: $1230^\circ - 40^\circ = 1190^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-150^\circ$: $-150^\circ - 40^\circ = -190^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-320^\circ$: $-320^\circ - 40^\circ = -360^\circ$. Так как $-360^\circ = 360^\circ \cdot (-1)$, этот угол подходит.

• Для угла $-210^\circ$: $-210^\circ - 40^\circ = -250^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-680^\circ$: $-680^\circ - 40^\circ = -720^\circ$. Так как $-720^\circ = 360^\circ \cdot (-2)$, этот угол подходит.

• Для угла $-1040^\circ$: $-1040^\circ - 40^\circ = -1080^\circ$. Так как $-1080^\circ = 360^\circ \cdot (-3)$, этот угол подходит.

Ответ: $400^\circ, -320^\circ, -680^\circ, -1040^\circ$.

2)

Аналогично найдем углы $\beta$, которые соответствуют углу $\alpha = 150^\circ$. Проверим, для каких углов из списка разность $(\beta - 150^\circ)$ делится на $360^\circ$ без остатка.

• Для угла $400^\circ$: $400^\circ - 150^\circ = 250^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $510^\circ$: $510^\circ - 150^\circ = 360^\circ$. Так как $360^\circ = 360^\circ \cdot 1$, этот угол подходит.

• Для угла $870^\circ$: $870^\circ - 150^\circ = 720^\circ$. Так как $720^\circ = 360^\circ \cdot 2$, этот угол подходит.

• Для угла $1230^\circ$: $1230^\circ - 150^\circ = 1080^\circ$. Так как $1080^\circ = 360^\circ \cdot 3$, этот угол подходит.

• Для угла $-150^\circ$: $-150^\circ - 150^\circ = -300^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-320^\circ$: $-320^\circ - 150^\circ = -470^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-210^\circ$: $-210^\circ - 150^\circ = -360^\circ$. Так как $-360^\circ = 360^\circ \cdot (-1)$, этот угол подходит.

• Для угла $-680^\circ$: $-680^\circ - 150^\circ = -830^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-1040^\circ$: $-1040^\circ - 150^\circ = -1190^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

Ответ: $510^\circ, 870^\circ, 1230^\circ, -210^\circ$.

14.16. Найдите угол $\alpha$, $0^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}$, при повороте на который точка $P_0 (1;0)$ займёт то же положение, что и при повороте на угол:

1) $440^{\circ}$;

2) $-170^{\circ}$;

3) $-315^{\circ}$;

4) $1000^{\circ}$.

Для того чтобы найти угол $ \alpha $ в диапазоне $ 0^\circ \le \alpha \le 360^\circ $, при повороте на который точка $ P_0(1;0) $ займёт то же положение, что и при повороте на заданный угол $ \beta $, необходимо к углу $ \beta $ прибавить или отнять целое число полных оборотов ($ 360^\circ $). Математически это записывается как $ \alpha = \beta + k \cdot 360^\circ $, где $ k $ — целое число, которое подбирается так, чтобы $ \alpha $ оказался в заданном интервале.

1) 440°;

Заданный угол $ 440^\circ $ больше $ 360^\circ $. Чтобы найти эквивалентный угол в диапазоне от $ 0^\circ $ до $ 360^\circ $, вычтем из него один полный оборот ($ k = -1 $):

$ \alpha = 440^\circ - 1 \cdot 360^\circ = 80^\circ $

Полученный угол $ 80^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 80^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 80^\circ $

2) -170°;

Заданный угол $ -170^\circ $ является отрицательным. Чтобы найти соответствующий положительный угол в нужном диапазоне, прибавим к нему один полный оборот ($ k = 1 $):

$ \alpha = -170^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 190^\circ $

Полученный угол $ 190^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 190^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 190^\circ $

3) -315°;

Заданный угол $ -315^\circ $ является отрицательным. Чтобы найти соответствующий положительный угол в нужном диапазоне, прибавим к нему один полный оборот ($ k = 1 $):

$ \alpha = -315^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 45^\circ $

Полученный угол $ 45^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 45^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 45^\circ $

4) 1000°.

Заданный угол $ 1000^\circ $ значительно больше $ 360^\circ $. Чтобы найти эквивалентный угол, необходимо вычесть несколько полных оборотов. Количество полных оборотов можно найти, разделив $ 1000^\circ $ на $ 360^\circ $:

$ 1000 \div 360 = 2 $ (остаток $ 280 $)

Это означает, что нужно вычесть два полных оборота ($ k = -2 $):

$ \alpha = 1000^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 1000^\circ - 720^\circ = 280^\circ $

Полученный угол $ 280^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 280^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 280^\circ $

14.17. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 (0; 1)$;

2) $P_2 (-1; 0)$;

3) $P_3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$;

4) $P_4 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

1) $P_1(0; 1)$;

Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат приводит к точке с координатами $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Для получения точки $P_1(0; 1)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых одновременно выполняются равенства:
$\cos\alpha = 0$
$\sin\alpha = 1$
Эти условия соответствуют точке на единичной окружности, которая находится на положительной части оси ординат (оси OY). Основное значение угла, удовлетворяющее этим условиям, равно $\frac{\pi}{2}$. Поскольку тригонометрические функции имеют период $2\pi$, все возможные углы поворота можно найти по формуле:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2(-1; 0)$;

Для получения точки $P_2(-1; 0)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются равенства:
$\cos\alpha = -1$
$\sin\alpha = 0$
Эти условия соответствуют точке на единичной окружности, которая находится на отрицательной части оси абсцисс (оси OX). Основное значение угла равно $\pi$. Общее решение для всех таких углов имеет вид:
$\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $P_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$;

Для получения точки $P_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются равенства:
$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\alpha = -\frac{1}{2}$
Положительное значение косинуса и отрицательное значение синуса указывают на то, что угол $\alpha$ находится в IV координатной четверти. Опорный угол, для которого $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\theta = \frac{1}{2}$, равен $\theta = \frac{\pi}{6}$. В IV четверти угол с такими значениями тригонометрических функций равен $-\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$). Общее решение:
$\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $P_4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

Для получения точки $P_4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются равенства:
$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что угол $\alpha$ находится во II координатной четверти. Опорный угол, для которого $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $\theta = \frac{\pi}{4}$. Во II четверти соответствующий угол равен $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Общее решение для всех таких углов:
$\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.