Номер 14.10, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.10. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $127^{\circ}$;

2) $89^{\circ}$;

3) $276^{\circ}$;

4) $400^{\circ}$;

5) $600^{\circ}$;

6) $750^{\circ}$;

7) $-400^{\circ}$;

8) $-470^{\circ}$;

9) $\frac{\pi}{5}$;

10) $-\frac{7\pi}{6}$;

11) $-1,8\pi$;

12) $2,4\pi$;

13) $3$;

14) $6$;

15) $-2?`$

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности, мы сравниваем угол поворота с границами координатных четвертей. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки от положительного направления оси Ox, отрицательные — по часовой стрелке.

• I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
• II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
• III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
• IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

Для углов, больших $360^\circ$ или меньших $0^\circ$, мы можем добавлять или вычитать полные обороты ($360^\circ$ или $2\pi$ радиан), чтобы привести угол в диапазон от $0^\circ$ до $360^\circ$.

1) 127°

Угол $\alpha = 127^\circ$. Поскольку $90^\circ < 127^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) 89°

Угол $\alpha = 89^\circ$. Поскольку $0^\circ < 89^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

3) 276°

Угол $\alpha = 276^\circ$. Поскольку $270^\circ < 276^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

4) 400°

Угол $\alpha = 400^\circ$ больше $360^\circ$. Найдем эквивалентный угол в основном диапазоне: $400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$. Поскольку $0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

5) 600°

Угол $\alpha = 600^\circ$. Вычтем полный оборот: $600^\circ - 360^\circ = 240^\circ$. Поскольку $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

6) 750°

Угол $\alpha = 750^\circ$. Вычтем два полных оборота: $750^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 750^\circ - 720^\circ = 30^\circ$. Поскольку $0^\circ < 30^\circ < 90^\circ$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

7) -400°

Угол $\alpha = -400^\circ$. Прибавим два полных оборота, чтобы получить положительный угол: $-400^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -400^\circ + 720^\circ = 320^\circ$. Поскольку $270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

8) -470°

Угол $\alpha = -470^\circ$. Прибавим два полных оборота: $-470^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -470^\circ + 720^\circ = 250^\circ$. Поскольку $180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

9) $\frac{\pi}{5}$

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$. Сравним с границами четвертей в радианах: $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$. Точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

10) $-\frac{7\pi}{6}$

Угол $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$. Прибавим полный оборот $2\pi$: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$ (так как $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$), точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

11) -1,8$\pi$

Угол $\alpha = -1,8\pi$. Прибавим полный оборот $2\pi$: $-1,8\pi + 2\pi = 0,2\pi$. Поскольку $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$ (то есть $0 < 0,2\pi < \frac{\pi}{2}$), точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

12) 2,4$\pi$

Угол $\alpha = 2,4\pi$. Вычтем полный оборот $2\pi$: $2,4\pi - 2\pi = 0,4\pi$. Поскольку $0 < 0,4\pi < 0,5\pi$ (то есть $0 < 0,4\pi < \frac{\pi}{2}$), точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

13) 3

Угол $\alpha = 3$ радиана. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Поскольку $1,57 < 3 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

14) 6

Угол $\alpha = 6$ радиан. Используем приближенные значения: $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$. Поскольку $4,71 < 6 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

15) -2

Угол $\alpha = -2$ радиана. Найдем эквивалентный положительный угол: $-2 + 2\pi \approx -2 + 6,28 = 4,28$. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$. Поскольку $3,14 < 4,28 < 4,71$, то есть $\pi < 4,28 < \frac{3\pi}{2}$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.