Номер 14.15, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.15. Среди углов $400^\circ$, $510^\circ$, $870^\circ$, $1230^\circ$, $-150^\circ$, $-320^\circ$, $-210^\circ$, $-680^\circ$, $-1040^\circ$ укажите те, при повороте на которые точка $P_0 (1; 0)$ займёт то же положение, что и при повороте на угол:

1) $40^\circ$;

2) $150^\circ$.

Точка $P_0(1; 0)$ при повороте на углы $\alpha$ и $\beta$ займет одно и то же положение на единичной окружности, если эти углы отличаются на целое число полных оборотов. Математически это выражается формулой:

$\beta = \alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Это означает, что разность углов $(\beta - \alpha)$ должна быть кратна $360^\circ$.

1)

Найдем среди предложенных углов $\beta$ те, которые соответствуют углу $\alpha = 40^\circ$. Для этого проверим, для каких углов из списка разность $(\beta - 40^\circ)$ делится на $360^\circ$ без остатка.

• Для угла $400^\circ$: $400^\circ - 40^\circ = 360^\circ$. Так как $360^\circ = 360^\circ \cdot 1$, этот угол подходит.

• Для угла $510^\circ$: $510^\circ - 40^\circ = 470^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $870^\circ$: $870^\circ - 40^\circ = 830^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $1230^\circ$: $1230^\circ - 40^\circ = 1190^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-150^\circ$: $-150^\circ - 40^\circ = -190^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-320^\circ$: $-320^\circ - 40^\circ = -360^\circ$. Так как $-360^\circ = 360^\circ \cdot (-1)$, этот угол подходит.

• Для угла $-210^\circ$: $-210^\circ - 40^\circ = -250^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-680^\circ$: $-680^\circ - 40^\circ = -720^\circ$. Так как $-720^\circ = 360^\circ \cdot (-2)$, этот угол подходит.

• Для угла $-1040^\circ$: $-1040^\circ - 40^\circ = -1080^\circ$. Так как $-1080^\circ = 360^\circ \cdot (-3)$, этот угол подходит.

Ответ: $400^\circ, -320^\circ, -680^\circ, -1040^\circ$.

2)

Аналогично найдем углы $\beta$, которые соответствуют углу $\alpha = 150^\circ$. Проверим, для каких углов из списка разность $(\beta - 150^\circ)$ делится на $360^\circ$ без остатка.

• Для угла $400^\circ$: $400^\circ - 150^\circ = 250^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $510^\circ$: $510^\circ - 150^\circ = 360^\circ$. Так как $360^\circ = 360^\circ \cdot 1$, этот угол подходит.

• Для угла $870^\circ$: $870^\circ - 150^\circ = 720^\circ$. Так как $720^\circ = 360^\circ \cdot 2$, этот угол подходит.

• Для угла $1230^\circ$: $1230^\circ - 150^\circ = 1080^\circ$. Так как $1080^\circ = 360^\circ \cdot 3$, этот угол подходит.

• Для угла $-150^\circ$: $-150^\circ - 150^\circ = -300^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-320^\circ$: $-320^\circ - 150^\circ = -470^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-210^\circ$: $-210^\circ - 150^\circ = -360^\circ$. Так как $-360^\circ = 360^\circ \cdot (-1)$, этот угол подходит.

• Для угла $-680^\circ$: $-680^\circ - 150^\circ = -830^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

• Для угла $-1040^\circ$: $-1040^\circ - 150^\circ = -1190^\circ$. Не кратно $360^\circ$.

Ответ: $510^\circ, 870^\circ, 1230^\circ, -210^\circ$.