Номер 14.14, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.14. Запишите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(0; 1);$

2) $(-1; 0);$

3) $(0; -1);$

4) $(1; 0).$

Исходная точка $P_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Эта точка находится на единичной окружности и соответствует углу $0^\circ$. Поворот на положительный угол происходит против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

1) Получить точку с координатами (0; 1)

Точка с координатами $(0; 1)$ находится на положительной части оси ординат. Чтобы попасть в неё из точки $(1; 0)$, двигаясь против часовой стрелки, нужно совершить поворот на четверть окружности.

Наименьший положительный угол: это поворот на $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: это поворот по часовой стрелке. Чтобы попасть из $(1; 0)$ в $(0; 1)$ по часовой стрелке, нужно пройти три четверти окружности. Угол такого поворота равен $-(360^\circ - 90^\circ) = -270^\circ$ (или $-\frac{3\pi}{2}$ радиан). Любой другой отрицательный угол (например, $-270^\circ - 360^\circ = -630^\circ$) будет меньше, поэтому $-270^\circ$ — наибольший.

Ответ: наименьший положительный угол $90^\circ$, наибольший отрицательный угол $-270^\circ$.

2) Получить точку с координатами (-1; 0)

Точка с координатами $(-1; 0)$ находится на отрицательной части оси абсцисс. Чтобы попасть в неё из точки $(1; 0)$, нужно совершить поворот на половину окружности.

Наименьший положительный угол: это поворот против часовой стрелки на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: это поворот по часовой стрелке также на половину окружности, что соответствует углу $-180^\circ$ (или $-\pi$ радиан). Это наибольший возможный отрицательный угол.

Ответ: наименьший положительный угол $180^\circ$, наибольший отрицательный угол $-180^\circ$.

3) Получить точку с координатами (0; -1)

Точка с координатами $(0; -1)$ находится на отрицательной части оси ординат.

Наименьший положительный угол: для попадания в эту точку против часовой стрелки нужно совершить поворот на три четверти окружности. Угол равен $270^\circ$ (или $\frac{3\pi}{2}$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: для попадания в эту точку по часовой стрелке нужно совершить поворот на четверть окружности. Угол равен $-90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан). Это наибольший из всех отрицательных углов, так как следующий ($ -90^\circ - 360^\circ = -450^\circ$) меньше.

Ответ: наименьший положительный угол $270^\circ$, наибольший отрицательный угол $-90^\circ$.

4) Получить точку с координатами (1; 0)

Требуется вернуться в исходную точку $P_0(1; 0)$. Это возможно при повороте на целое число полных оборотов.

Наименьший положительный угол: это один полный оборот против часовой стрелки. Угол $0^\circ$ не является положительным, поэтому наименьший положительный угол равен $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан).

Наибольший отрицательный угол: это один полный оборот по часовой стрелке. Угол равен $-360^\circ$ (или $-2\pi$ радиан). Любой другой отрицательный угол (например, $-720^\circ$) будет меньше.

Ответ: наименьший положительный угол $360^\circ$, наибольший отрицательный угол $-360^\circ$.