Номер 14.8, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.8. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{\pi}{3}$;

2) $150^{\circ}$;

3) $\frac{5\pi}{3}$;

4) $-45^{\circ}$;

5) $-120^{\circ}$;

6) $450^{\circ}$;

7) $-480^{\circ}$;

8) $-\frac{7\pi}{3}$.

В данной задаче требуется найти координаты точки на единичной окружности, полученной в результате поворота начальной точки $P_0(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$. Координаты $(x, y)$ новой точки $P_\alpha$ определяются по формулам $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Положительный угол означает поворот против часовой стрелки, а отрицательный — по часовой стрелке.

Поворот на угол $\frac{\pi}{3}$ радиан. Так как угол положительный, поворот осуществляется против часовой стрелки. Угол $\frac{\pi}{3}$ равен $60^\circ$. Эта точка находится в I координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_1$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в I четверти.

Поворот на угол $150^\circ$. Так как угол положительный, поворот осуществляется против часовой стрелки. Угол $150^\circ$ ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$) соответствует точке во II координатной четверти. Найдем ее координаты, используя формулы приведения:
$x = \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_2$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: Точка $P_2(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ находится во II четверти.

Поворот на угол $\frac{5\pi}{3}$ радиан. Так как угол положительный, поворот осуществляется против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{3} = 300^\circ$ ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$) соответствует точке в IV координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_3$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_3(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в IV четверти.

Поворот на угол $-45^\circ$. Так как угол отрицательный, поворот осуществляется по часовой стрелке. Точка, соответствующая углу $-45^\circ$, находится в IV координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_4$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_4(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ находится в IV четверти.

Поворот на угол $-120^\circ$. Так как угол отрицательный, поворот осуществляется по часовой стрелке. Угол $-120^\circ$ ($-180^\circ < -120^\circ < -90^\circ$) соответствует точке в III координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_5$ имеет координаты $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_5(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в III четверти.

Поворот на угол $450^\circ$. Так как угол больше $360^\circ$, это означает совершение полного оборота. Для нахождения положения точки найдем остаток от деления на $360^\circ$:
$450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$
Таким образом, поворот на $450^\circ$ эквивалентен повороту на $90^\circ$. Точка находится на положительной части оси Oy. Найдем ее координаты:
$x = \cos(450^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$
$y = \sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$
Следовательно, искомая точка $P_6$ имеет координаты $(0, 1)$.

Ответ: Точка $P_6(0, 1)$ находится на положительной полуоси Oy.

Поворот на угол $-480^\circ$. Так как угол отрицательный, а его модуль больше $360^\circ$, это означает совершение полного оборота по часовой стрелке. Для нахождения положения точки найдем эквивалентный угол в пределах от $-360^\circ$ до $0^\circ$:
$-480^\circ = -360^\circ - 120^\circ$
Таким образом, поворот на $-480^\circ$ эквивалентен повороту на $-120^\circ$. Эта задача сводится к пункту 5. Точка находится в III координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-480^\circ) = \cos(-120^\circ) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(-480^\circ) = \sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_7$ имеет координаты $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_7(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в III четверти.

Поворот на угол $-\frac{7\pi}{3}$ радиан. Так как угол отрицательный, а его модуль больше $2\pi$, это означает совершение полного оборота по часовой стрелке. Для нахождения положения точки найдем эквивалентный угол:
$-\frac{7\pi}{3} = -\frac{6\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$
Таким образом, поворот на $-\frac{7\pi}{3}$ эквивалентен повороту на $-\frac{\pi}{3}$. Точка, соответствующая углу $-\frac{\pi}{3}$ (или $-60^\circ$), находится в IV координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_8$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_8(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в IV четверти.