Номер 14.1, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $25^{\circ}$;

2) $40^{\circ}$;

3) $100^{\circ}$;

4) $160^{\circ}$;

5) $210^{\circ}$;

6) $300^{\circ}$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$, где $\alpha^\circ$ — градусная мера угла, а $\alpha_{рад}$ — его радианная мера. Эта формула основана на том, что развернутый угол равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

1) 25°
Чтобы найти радианную меру угла в 25°, умножим это значение на множитель $\frac{\pi}{180}$: $25 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{25\pi}{180}$. Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 25 и 180 равен 5. $\frac{25\pi}{180} = \frac{5 \cdot 5 \cdot \pi}{36 \cdot 5} = \frac{5\pi}{36}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{36}$.

2) 40°
Для угла в 40° выполним перевод в радианы по той же формуле: $40 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{40\pi}{180}$. Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 20: $\frac{40\pi}{180} = \frac{2 \cdot 20 \cdot \pi}{9 \cdot 20} = \frac{2\pi}{9}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{9}$.

3) 100°
Переведем 100° в радианы: $100 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{100\pi}{180}$. Наибольший общий делитель для 100 и 180 это 20, сокращаем дробь на него: $\frac{100\pi}{180} = \frac{5 \cdot 20 \cdot \pi}{9 \cdot 20} = \frac{5\pi}{9}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{9}$.

4) 160°
Найдем радианную меру для 160°: $160 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{160\pi}{180}$. Сократим дробь на 20, который является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя: $\frac{160\pi}{180} = \frac{8 \cdot 20 \cdot \pi}{9 \cdot 20} = \frac{8\pi}{9}$.
Ответ: $\frac{8\pi}{9}$.

5) 210°
Вычисляем радианную меру для 210°: $210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{210\pi}{180}$. Наибольший общий делитель для 210 и 180 равен 30. Сокращаем дробь: $\frac{210\pi}{180} = \frac{7 \cdot 30 \cdot \pi}{6 \cdot 30} = \frac{7\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{6}$.

6) 300°
Наконец, переведем 300° в радианы: $300 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{300\pi}{180}$. Наибольший общий делитель для 300 и 180 равен 60. Сокращаем дробь: $\frac{300\pi}{180} = \frac{5 \cdot 60 \cdot \pi}{3 \cdot 60} = \frac{5\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{3}$.