Номер 5, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Сколько точек определяет на единичной окружности угол поворота?

Любой угол поворота определяет на единичной окружности ровно одну точку.

Чтобы понять почему, рассмотрим определение. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1. По соглашению, отсчет углов поворота начинается от точки $P_0$ с координатами $(1, 0)$, которая соответствует нулевому углу.

Заданный угол поворота $\alpha$ означает, что мы поворачиваем начальную точку $P_0(1, 0)$ вокруг центра окружности на этот угол. Положительные значения угла соответствуют повороту против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Этот процесс всегда приводит к одной-единственной конечной точке на окружности. Координаты этой точки, обозначаемой $P_\alpha$, однозначно вычисляются по формулам: $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$.

Например, угол поворота $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (эквивалентный $90^\circ$) определяет единственную точку с координатами $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2})$, то есть точку $(0, 1)$. Другой пример: угол поворота $\beta = 450^\circ$. Чтобы найти соответствующую точку, мы совершаем поворот против часовой стрелки на один полный оборот ($360^\circ$) и еще на $90^\circ$. В итоге мы попадаем в ту же точку $(0, 1)$. Для каждого конкретного угла всегда есть только одна конечная точка.

Здесь важно не спутать с обратной ситуацией. Одна и та же точка на окружности может быть получена с помощью бесконечного множества разных углов. Например, точка $(0, 1)$ соответствует не только углу $\frac{\pi}{2}$, но и всем углам, которые можно представить в виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число (например, $\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$ и т.д.).

Однако, поскольку вопрос звучит "Сколько точек определяет угол поворота?", речь идет о функции, где аргументом является угол, а значением — точка. Эта функция каждому углу ставит в соответствие ровно одну точку.

Ответ: 1.