Страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют углом в один радиан?

1.

Углом в один радиан (обозначается как 1 рад) называют центральный угол в окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

Радианная мера угла — это безразмерная величина, определяемая как отношение длины дуги окружности, на которую опирается этот угол, к радиусу этой окружности. Эта мера не зависит от выбора радиуса окружности.

Математически это выражается формулой:
$\alpha = \frac{l}{r}$
где $\alpha$ — угол в радианах, $l$ — длина дуги, а $r$ — радиус окружности.

Исходя из этой формулы, если мы возьмем дугу, длина которой в точности равна радиусу ($l = r$), то величина центрального угла, опирающегося на эту дугу, будет равна:
$\alpha = \frac{r}{r} = 1$ радиан.

Чтобы лучше понять величину этого угла, можно соотнести его с градусной мерой. Полный оборот, или $360^\circ$, соответствует длине всей окружности, которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. В радианах полный угол равен:
$\alpha_{полный} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ радиан.

Таким образом, мы имеем основное соотношение между радианами и градусами:
$2\pi \text{ радиан} = 360^\circ$, или, что удобнее для запоминания, $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$.

Из этого соотношения можно выразить, скольким градусам равен один радиан:
$1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx \frac{180^\circ}{3.14159...} \approx 57.2958^\circ$.

Ответ: Угол в один радиан — это такой центральный угол, который вырезает на окружности дугу, длина которой равна её радиусу.

2. Какова радианная мера угла, равного $1^\circ$?

Для определения радианной меры угла, выраженного в градусах, используется основное соотношение, связывающее градусную и радианную меры. Известно, что развернутый угол равен $180^\circ$ и одновременно $\pi$ радиан. На основе этого устанавливается следующее тождество:

$180^\circ = \pi$ радиан

Чтобы найти, чему равна радианная мера одного градуса ($1^\circ$), необходимо обе части этого равенства разделить на 180:

$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан

Таким образом, для перевода величины угла из градусов в радианы, нужно умножить значение в градусах на $\frac{\pi}{180}$. Для угла в $1^\circ$ мы получаем:

$1 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{180}$ радиан

Ответ: Радианная мера угла, равного $1^\circ$, составляет $\frac{\pi}{180}$ радиан.

3. Чему равна длина дуги окружности радиуса $R$, содержащей $\alpha$ рад?

Для нахождения длины дуги окружности, когда центральный угол задан в радианах, используется формула, которая напрямую следует из определения радианной меры угла.

По определению, радианная мера центрального угла — это отношение длины дуги, на которую опирается этот угол, к радиусу окружности.

Обозначим:
- $L$ — искомая длина дуги;
- $R$ — радиус окружности;
- $\alpha$ — центральный угол, выраженный в радианах.

Математически определение радианной меры угла записывается в виде формулы:
$\alpha = \frac{L}{R}$

Чтобы найти из этого соотношения длину дуги $L$, нужно выразить ее, умножив обе части уравнения на радиус $R$:
$L = \alpha \cdot R$

Таким образом, длина дуги окружности равна произведению ее радиуса на величину центрального угла, выраженную в радианах.

Пример для проверки:
Длина всей окружности соответствует полному углу в $2\pi$ радиан. Подставив это значение в нашу формулу, получим:
$L = (2\pi) \cdot R = 2\pi R$
Это совпадает с общеизвестной формулой длины окружности, что подтверждает верность нашего вывода.

Ответ: Длина дуги окружности радиуса $R$, содержащей $\alpha$ рад, равна $L = \alpha R$.

4. Каким числом может выражаться величина угла поворота?

Величина угла поворота может выражаться любым действительным (вещественным) числом. Это означает, что угол может быть положительным, отрицательным или равным нулю, а также целым, дробным или иррациональным.

Знак числа указывает на направление поворота. По соглашению, положительные углы соответствуют повороту против часовой стрелки, а отрицательные углы — повороту по часовой стрелке. Нулевой угол означает отсутствие поворота.

Величина угла не ограничена одним полным оборотом, который равен $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Объект может совершать несколько полных оборотов. Например, угол в $720^\circ$ соответствует двум полным оборотам против часовой стрелки ($720^\circ = 2 \cdot 360^\circ$). Угол в $-540^\circ$ соответствует полутора оборотам по часовой стрелке ($-540^\circ = -360^\circ - 180^\circ$).

Таким образом, множество всех возможных значений для угла поворота $\alpha$ — это множество всех действительных чисел, то есть $\alpha \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Величина угла поворота может выражаться любым действительным (вещественным) числом.

5. Сколько точек определяет на единичной окружности угол поворота?

Любой угол поворота определяет на единичной окружности ровно одну точку.

Чтобы понять почему, рассмотрим определение. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1. По соглашению, отсчет углов поворота начинается от точки $P_0$ с координатами $(1, 0)$, которая соответствует нулевому углу.

Заданный угол поворота $\alpha$ означает, что мы поворачиваем начальную точку $P_0(1, 0)$ вокруг центра окружности на этот угол. Положительные значения угла соответствуют повороту против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Этот процесс всегда приводит к одной-единственной конечной точке на окружности. Координаты этой точки, обозначаемой $P_\alpha$, однозначно вычисляются по формулам: $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$.

Например, угол поворота $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (эквивалентный $90^\circ$) определяет единственную точку с координатами $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2})$, то есть точку $(0, 1)$. Другой пример: угол поворота $\beta = 450^\circ$. Чтобы найти соответствующую точку, мы совершаем поворот против часовой стрелки на один полный оборот ($360^\circ$) и еще на $90^\circ$. В итоге мы попадаем в ту же точку $(0, 1)$. Для каждого конкретного угла всегда есть только одна конечная точка.

Здесь важно не спутать с обратной ситуацией. Одна и та же точка на окружности может быть получена с помощью бесконечного множества разных углов. Например, точка $(0, 1)$ соответствует не только углу $\frac{\pi}{2}$, но и всем углам, которые можно представить в виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число (например, $\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$ и т.д.).

Однако, поскольку вопрос звучит "Сколько точек определяет угол поворота?", речь идет о функции, где аргументом является угол, а значением — точка. Эта функция каждому углу ставит в соответствие ровно одну точку.

Ответ: 1.

6. Сколько углов поворота соответствуют положению точки на единичной окружности?

6. Каждому положению точки на единичной окружности соответствует бесконечное множество углов поворота.

Чтобы понять почему, представим единичную окружность. Положение любой точки на ней можно задать углом поворота начальной точки (обычно точка с координатами (1, 0)) вокруг центра окружности (0, 0).

Пусть некоторой точке $M$ на окружности соответствует угол поворота $\alpha$. Если из этой точки совершить полный оборот, то мы вернемся в ту же самую точку $M$. Полный оборот составляет $360^\circ$ в градусной мере или $2\pi$ в радианной мере.

Это означает, что если мы к углу $\alpha$ прибавим или вычтем любое целое число полных оборотов, мы снова окажемся в точке $M$.

Таким образом, все углы, соответствующие положению точки $M$, можно описать общей формулой.

• В градусах: $\alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

• В радианах: $\alpha + 2\pi \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Например, точке на единичной окружности с координатами (0, 1) соответствует угол поворота $90^\circ$. Ей же соответствуют и углы $90^\circ + 360^\circ = 450^\circ$, $90^\circ - 360^\circ = -270^\circ$, $90^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 810^\circ$ и так далее. В радианах это будут углы $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ и т.д.

Поскольку множество целых чисел $k$ бесконечно, то и количество углов поворота, соответствующих одной и той же точке на окружности, также бесконечно.

Ответ: положению точки на единичной окружности соответствует бесконечное множество углов поворота.