Страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $25^{\circ}$;

2) $40^{\circ}$;

3) $100^{\circ}$;

4) $160^{\circ}$;

5) $210^{\circ}$;

6) $300^{\circ}$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$, где $\alpha^\circ$ — градусная мера угла, а $\alpha_{рад}$ — его радианная мера. Эта формула основана на том, что развернутый угол равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

1) 25°
Чтобы найти радианную меру угла в 25°, умножим это значение на множитель $\frac{\pi}{180}$: $25 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{25\pi}{180}$. Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 25 и 180 равен 5. $\frac{25\pi}{180} = \frac{5 \cdot 5 \cdot \pi}{36 \cdot 5} = \frac{5\pi}{36}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{36}$.

2) 40°
Для угла в 40° выполним перевод в радианы по той же формуле: $40 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{40\pi}{180}$. Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 20: $\frac{40\pi}{180} = \frac{2 \cdot 20 \cdot \pi}{9 \cdot 20} = \frac{2\pi}{9}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{9}$.

3) 100°
Переведем 100° в радианы: $100 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{100\pi}{180}$. Наибольший общий делитель для 100 и 180 это 20, сокращаем дробь на него: $\frac{100\pi}{180} = \frac{5 \cdot 20 \cdot \pi}{9 \cdot 20} = \frac{5\pi}{9}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{9}$.

4) 160°
Найдем радианную меру для 160°: $160 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{160\pi}{180}$. Сократим дробь на 20, который является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя: $\frac{160\pi}{180} = \frac{8 \cdot 20 \cdot \pi}{9 \cdot 20} = \frac{8\pi}{9}$.
Ответ: $\frac{8\pi}{9}$.

5) 210°
Вычисляем радианную меру для 210°: $210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{210\pi}{180}$. Наибольший общий делитель для 210 и 180 равен 30. Сокращаем дробь: $\frac{210\pi}{180} = \frac{7 \cdot 30 \cdot \pi}{6 \cdot 30} = \frac{7\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{6}$.

6) 300°
Наконец, переведем 300° в радианы: $300 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{300\pi}{180}$. Наибольший общий делитель для 300 и 180 равен 60. Сокращаем дробь: $\frac{300\pi}{180} = \frac{5 \cdot 60 \cdot \pi}{3 \cdot 60} = \frac{5\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{3}$.

14.2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{10}$;

2) $\frac{2\pi}{5}$;

3) $\frac{\pi}{9}$;

4) $1,2\pi$;

5) $3\pi$;

6) $2,5\pi$.

Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула, основанная на соотношении, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$. Чтобы найти градусную меру угла, зная его радианную меру, нужно значение в радианах умножить на $\frac{180^\circ}{\pi}$.

1) Найдем градусную меру для угла $\frac{\pi}{10}$ радиан.

$\frac{\pi}{10} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ$.

Ответ: $18^\circ$.

2) Найдем градусную меру для угла $\frac{2\pi}{5}$ радиан.

$\frac{2\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{5} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$.

3) Найдем градусную меру для угла $\frac{\pi}{9}$ радиан.

$\frac{\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$.

4) Найдем градусную меру для угла $1,2\pi$ радиан.

$1,2\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 1,2 \cdot 180^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $216^\circ$.

5) Найдем градусную меру для угла $3\pi$ радиан.

$3\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

Ответ: $540^\circ$.

6) Найдем градусную меру для угла $2,5\pi$ радиан.

$2,5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 2,5 \cdot 180^\circ = \frac{5}{2} \cdot 180^\circ = 5 \cdot 90^\circ = 450^\circ$.

Ответ: $450^\circ$.

14.3. Заполните таблицу.

$12^{\circ}$, $36^{\circ}$, $105^{\circ}$, $225^{\circ}$, $240^{\circ}$

$\frac{\pi}{18}$, $\frac{4\pi}{9}$, $\frac{3\pi}{5}$, $4\pi$, $1,8\pi$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот. Для этого используются формулы, которые следуют из основного соотношения: $180^\circ = \pi$ радиан.

• Для перевода градусов в радианы используется формула: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
• Для перевода радиан в градусы используется формула: $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$

Выполним вычисления для каждой пустой ячейки таблицы.

1. Найти градусную меру для $\frac{\pi}{18}$

Для перевода радианной меры в градусную умножаем значение в радианах на $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$\frac{\pi}{18} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ$

Ответ: $10^\circ$

2. Найти радианную меру для $12^\circ$

Для перевода градусной меры в радианную умножаем значение в градусах на $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$12^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{12\pi}{180} = \frac{\pi}{15}$

Ответ: $\frac{\pi}{15}$

3. Найти радианную меру для $36^\circ$

Переводим градусы в радианы:

$36^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{36\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$

Ответ: $\frac{\pi}{5}$

4. Найти градусную меру для $\frac{4\pi}{9}$

Переводим радианы в градусы:

$\frac{4\pi}{9} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{9} = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Ответ: $80^\circ$

5. Найти градусную меру для $\frac{3\pi}{5}$

Переводим радианы в градусы:

$\frac{3\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Ответ: $108^\circ$

6. Найти радианную меру для $105^\circ$

Переводим градусы в радианы:

$105^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{105\pi}{180} = \frac{21\pi}{36} = \frac{7\pi}{12}$

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$

7. Найти радианную меру для $225^\circ$

Переводим градусы в радианы:

$225^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{225\pi}{180} = \frac{45\pi}{36} = \frac{5\pi}{4}$

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$

8. Найти градусную меру для $4\pi$

Переводим радианы в градусы:

$4\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$

Ответ: $720^\circ$

9. Найти градусную меру для $1,8\pi$

Переводим радианы в градусы:

$1,8\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 1,8 \cdot 180^\circ = 324^\circ$

Ответ: $324^\circ$

10. Найти радианную меру для $240^\circ$

Переводим градусы в радианы:

$240^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{240\pi}{180} = \frac{24\pi}{18} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$

Итоговая заполненная таблица:

14.4. Чему равна длина дуги окружности, радиус которой равен 12 см, если

радианная мера дуги составляет:

1) $\frac{\pi}{2}$;

2) $2$;

3) $\frac{5\pi}{6}$;

4) $2\pi$?

Для нахождения длины дуги окружности используется формула: $L = \alpha \cdot R$, где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — радианная мера дуги.

По условию задачи, радиус окружности $R = 12$ см. Подставим это значение и заданные радианные меры в формулу для каждого случая.

1) Дано $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Найдем длину дуги:
$L = \frac{\pi}{2} \cdot 12 = 6\pi$ см.
Ответ: $6\pi$ см.

2) Дано $\alpha = 2$ радиана.
Найдем длину дуги:
$L = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Ответ: 24 см.

3) Дано $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.
Найдем длину дуги:
$L = \frac{5\pi}{6} \cdot 12 = 5\pi \cdot \frac{12}{6} = 5\pi \cdot 2 = 10\pi$ см.
Ответ: $10\pi$ см.

4) Дано $\alpha = 2\pi$.
Найдем длину дуги:
$L = 2\pi \cdot 12 = 24\pi$ см.
(Примечание: угол в $2\pi$ радиан соответствует полной окружности, поэтому длина дуги равна длине всей окружности).
Ответ: $24\pi$ см.

14.5. Вычислите длину дуги окружности, если известны её радианная мера $α$ и радиус $R$ окружности:

1) $α = 3, R = 5$ см;

2) $α = \frac{3\pi}{4}, R = 6$ см;

3) $α = 0,4\pi, R = 2$ см.

Для вычисления длины дуги окружности ($L$) по её радианной мере ($\alpha$) и радиусу окружности ($R$) используется следующая формула:

$L = R \cdot \alpha$

Применим эту формулу для решения каждого подпункта.

1) Дано: $\alpha = 3$, $R = 5$ см.
Подставляем известные значения в формулу:
$L = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Ответ: 15 см.

2) Дано: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, $R = 6$ см.
Подставляем известные значения в формулу:
$L = 6 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2}$ см.
Ответ: $\frac{9\pi}{2}$ см.

3) Дано: $\alpha = 0,4\pi$, $R = 2$ см.
Подставляем известные значения в формулу:
$L = 2 \cdot 0,4\pi = 0,8\pi$ см.
Ответ: $0,8\pi$ см.

14.6. Сравните величины углов, заданных в радианах:

1) $ \frac{\pi}{2} $ и 1,5;
2) $ -\frac{\pi}{2} $ и -2;
3) $ \frac{3\pi}{2} $ и 4,8.

1) Для сравнения величин $\frac{\pi}{2}$ и 1,5 используем приближенное значение числа $\pi$. Известно, что $\pi \approx 3,14159...$. Очевидно, что $\pi > 3$.

Разделим обе части неравенства $\pi > 3$ на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не меняется):

$\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2}$

$\frac{\pi}{2} > 1,5$

Для проверки можно вычислить приближенное значение: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Так как $1,57 > 1,5$, наше сравнение верно.

Ответ: $\frac{\pi}{2} > 1,5$.

2) Для сравнения отрицательных чисел $-\frac{\pi}{2}$ и -2, сначала сравним их положительные значения (модули): $\frac{\pi}{2}$ и 2.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$.

Сравниваем 1,57 и 2:

$1,57 < 2$, следовательно $\frac{\pi}{2} < 2$.

При умножении обеих частей неравенства на -1, знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{\pi}{2} > -2$

Это также можно увидеть на числовой прямой: число $-1,57$ расположено правее (ближе к нулю), чем число -2, а значит, оно больше.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} > -2$.

3) Для сравнения величин $\frac{3\pi}{2}$ и 4,8 найдем приближенное значение дроби $\frac{3\pi}{2}$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14}{2} = \frac{9,42}{2} = 4,71$.

Теперь сравним полученное значение с 4,8:

$4,71 < 4,8$.

Отсюда можно сделать вывод, что $\frac{3\pi}{2} < 4,8$.

Для более строгого доказательства можно использовать известное неравенство $\pi < 3,2$. Умножим обе части на $\frac{3}{2}$ (положительное число):

$\frac{3}{2} \times \pi < \frac{3}{2} \times 3,2$

$\frac{3\pi}{2} < 3 \times 1,6$

$\frac{3\pi}{2} < 4,8$

Таким образом, сравнение подтверждается.

Ответ: $\frac{3\pi}{2} < 4,8$.

14.7. Сравните величины углов, заданных в радианах:

1) $\frac{\pi}{4}$ и $1$;

2) $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6}$.

1) Чтобы сравнить величины углов $\frac{\pi}{4}$ и $1$, необходимо сравнить два числа. Для этого воспользуемся известным приближенным значением числа $\pi$.

Число $\pi$ — это иррациональное число, и его значение приблизительно равно $3,14159...$

Сравним число $\pi$ с числом $4$. Очевидно, что $3,14159... < 4$, следовательно, $\pi < 4$.

Теперь разделим обе части неравенства на положительное число $4$. При делении на положительное число знак неравенства сохраняется:

$\frac{\pi}{4} < \frac{4}{4}$

$\frac{\pi}{4} < 1$

Таким образом, угол в $\frac{\pi}{4}$ радиан меньше, чем угол в $1$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{4} < 1$.

2) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6}$, сначала сравним их абсолютные величины (модули), то есть $\frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6}$.

Для удобства сравнения приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $2$ и $6$ равен $6$.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{3}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Так как знаменатели у дробей одинаковы, достаточно сравнить их числители: $3$ и $\pi$.

Как мы знаем, $\pi \approx 3,14159...$, поэтому $3 < \pi$.

Следовательно, $\frac{3}{6} < \frac{\pi}{6}$, что означает $\frac{1}{2} < \frac{\pi}{6}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Поскольку $\frac{1}{2} < \frac{\pi}{6}$, то при добавлении знака "минус" к обеим частям неравенства, знак неравенства изменится на противоположный:

$-\frac{1}{2} > -\frac{\pi}{6}$

Таким образом, угол в $-\frac{1}{2}$ радиан больше, чем угол в $-\frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ: $-\frac{1}{2} > -\frac{\pi}{6}$.

14.8. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{\pi}{3}$;

2) $150^{\circ}$;

3) $\frac{5\pi}{3}$;

4) $-45^{\circ}$;

5) $-120^{\circ}$;

6) $450^{\circ}$;

7) $-480^{\circ}$;

8) $-\frac{7\pi}{3}$.

В данной задаче требуется найти координаты точки на единичной окружности, полученной в результате поворота начальной точки $P_0(1; 0)$ на заданный угол $\alpha$. Координаты $(x, y)$ новой точки $P_\alpha$ определяются по формулам $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Положительный угол означает поворот против часовой стрелки, а отрицательный — по часовой стрелке.

Поворот на угол $\frac{\pi}{3}$ радиан. Так как угол положительный, поворот осуществляется против часовой стрелки. Угол $\frac{\pi}{3}$ равен $60^\circ$. Эта точка находится в I координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_1$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в I четверти.

Поворот на угол $150^\circ$. Так как угол положительный, поворот осуществляется против часовой стрелки. Угол $150^\circ$ ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$) соответствует точке во II координатной четверти. Найдем ее координаты, используя формулы приведения:
$x = \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_2$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: Точка $P_2(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ находится во II четверти.

Поворот на угол $\frac{5\pi}{3}$ радиан. Так как угол положительный, поворот осуществляется против часовой стрелки. Угол $\frac{5\pi}{3} = 300^\circ$ ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$) соответствует точке в IV координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_3$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_3(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в IV четверти.

Поворот на угол $-45^\circ$. Так как угол отрицательный, поворот осуществляется по часовой стрелке. Точка, соответствующая углу $-45^\circ$, находится в IV координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_4$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Точка $P_4(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ находится в IV четверти.

Поворот на угол $-120^\circ$. Так как угол отрицательный, поворот осуществляется по часовой стрелке. Угол $-120^\circ$ ($-180^\circ < -120^\circ < -90^\circ$) соответствует точке в III координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_5$ имеет координаты $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_5(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в III четверти.

Поворот на угол $450^\circ$. Так как угол больше $360^\circ$, это означает совершение полного оборота. Для нахождения положения точки найдем остаток от деления на $360^\circ$:
$450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$
Таким образом, поворот на $450^\circ$ эквивалентен повороту на $90^\circ$. Точка находится на положительной части оси Oy. Найдем ее координаты:
$x = \cos(450^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$
$y = \sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$
Следовательно, искомая точка $P_6$ имеет координаты $(0, 1)$.

Ответ: Точка $P_6(0, 1)$ находится на положительной полуоси Oy.

Поворот на угол $-480^\circ$. Так как угол отрицательный, а его модуль больше $360^\circ$, это означает совершение полного оборота по часовой стрелке. Для нахождения положения точки найдем эквивалентный угол в пределах от $-360^\circ$ до $0^\circ$:
$-480^\circ = -360^\circ - 120^\circ$
Таким образом, поворот на $-480^\circ$ эквивалентен повороту на $-120^\circ$. Эта задача сводится к пункту 5. Точка находится в III координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-480^\circ) = \cos(-120^\circ) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(-480^\circ) = \sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_7$ имеет координаты $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_7(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в III четверти.

Поворот на угол $-\frac{7\pi}{3}$ радиан. Так как угол отрицательный, а его модуль больше $2\pi$, это означает совершение полного оборота по часовой стрелке. Для нахождения положения точки найдем эквивалентный угол:
$-\frac{7\pi}{3} = -\frac{6\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$
Таким образом, поворот на $-\frac{7\pi}{3}$ эквивалентен повороту на $-\frac{\pi}{3}$. Точка, соответствующая углу $-\frac{\pi}{3}$ (или $-60^\circ$), находится в IV координатной четверти. Найдем ее координаты:
$x = \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка $P_8$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Точка $P_8(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ находится в IV четверти.

14.9. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0$ $(1;0)$ на угол:

1) $225^{\circ}$;

2) $-60^{\circ}$;

3) $\frac{\pi}{6}$;

4) $320^{\circ}$;

5) $420^{\circ}$;

6) $-315^{\circ}$;

7) $\frac{2\pi}{3}$;

8) $-\frac{5\pi}{6}$;

9) $6\pi$;

10) $-720^{\circ}$.

1) 225°
Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $225^\circ$ против часовой стрелки. Этот угол находится в третьей координатной четверти, так как $180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$. Угол можно представить с помощью формулы приведения: $225^\circ = 180^\circ + 45^\circ$. Координаты искомой точки $P$ на единичной окружности равны $(\cos(225^\circ), \sin(225^\circ))$.
$\cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin(225^\circ) = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, точка находится на биссектрисе третьего координатного угла.
Ответ: $P(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) -60°
Поворот на отрицательный угол $-60^\circ$ означает поворот по часовой стрелке на $60^\circ$. Точка окажется в четвертой координатной четверти. Координаты точки $P$ на единичной окружности: $(\cos(-60^\circ), \sin(-60^\circ))$.
$\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $P(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) $\frac{\pi}{6}$
Поворот на угол $\frac{\pi}{6}$ радиан против часовой стрелки. Этот угол соответствует $30^\circ$ и находится в первой координатной четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6}))$.
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $P(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

4) 320°
Поворот на угол $320^\circ$ против часовой стрелки. Этот угол находится в четвертой координатной четверти, так как $270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$. Угол $320^\circ$ можно также представить как поворот на $-40^\circ$ ($320^\circ - 360^\circ = -40^\circ$). Координаты точки $P$: $(\cos(320^\circ), \sin(320^\circ))$.
$\cos(320^\circ) = \cos(360^\circ - 40^\circ) = \cos(40^\circ)$.
$\sin(320^\circ) = \sin(360^\circ - 40^\circ) = -\sin(40^\circ)$.
Так как $40^\circ$ не является "табличным" углом, точные значения косинуса и синуса не выражаются через простые дроби и корни. Точка расположена в четвертой четверти.
Ответ: $P(\cos(320^\circ), \sin(320^\circ))$.

5) 420°
Поворот на угол $420^\circ$ против часовой стрелки. Так как угол больше $360^\circ$, мы можем вычесть полный оборот, чтобы найти эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$: $420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$. Таким образом, поворот на $420^\circ$ эквивалентен повороту на $60^\circ$. Угол находится в первой четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(420^\circ), \sin(420^\circ))$.
$\cos(420^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\sin(420^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

6) -315°
Поворот на угол $-315^\circ$ по часовой стрелке. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, можно прибавить $360^\circ$: $-315^\circ + 360^\circ = 45^\circ$. Поворот на $-315^\circ$ эквивалентен повороту на $45^\circ$ против часовой стрелки. Угол находится в первой четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(-315^\circ), \sin(-315^\circ))$.
$\cos(-315^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin(-315^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Точка находится на биссектрисе первого координатного угла.
Ответ: $P(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

7) $\frac{2\pi}{3}$
Поворот на угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан против часовой стрелки. В градусах это $\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 120^\circ$. Этот угол находится во второй четверти. Используя формулы приведения: $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$. Координаты точки $P$: $(\cos(\frac{2\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3}))$.
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $P(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

8) $-\frac{5\pi}{6}$
Поворот на угол $-\frac{5\pi}{6}$ радиан по часовой стрелке. В градусах это $-\frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -150^\circ$. Этот угол находится в третьей четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(-\frac{5\pi}{6}), \sin(-\frac{5\pi}{6}))$.
$\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\sin(150^\circ) = -\sin(180^\circ - 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

9) $6\pi$
Поворот на угол $6\pi$ радиан. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Угол $6\pi$ равен $3 \times 2\pi$. Это означает три полных оборота против часовой стрелки. После каждого полного оборота точка возвращается в исходное положение $P_0(1, 0)$. Таким образом, итоговая точка совпадает с начальной.
Координаты точки $P$: $(\cos(6\pi), \sin(6\pi)) = (\cos(0), \sin(0))$.
$\cos(0) = 1, \sin(0) = 0$.
Ответ: $P(1, 0)$.

10) -720°
Поворот на угол $-720^\circ$. Полный оборот составляет $360^\circ$. Угол $-720^\circ$ равен $-2 \times 360^\circ$. Это означает два полных оборота по часовой стрелке. Точка вернется в свое начальное положение $P_0(1, 0)$.
Координаты точки $P$: $(\cos(-720^\circ), \sin(-720^\circ)) = (\cos(0^\circ), \sin(0^\circ))$.
$\cos(0^\circ) = 1, \sin(0^\circ) = 0$.
Ответ: $P(1, 0)$.