Номер 14.9, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.9. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0$ $(1;0)$ на угол:

1) $225^{\circ}$;

2) $-60^{\circ}$;

3) $\frac{\pi}{6}$;

4) $320^{\circ}$;

5) $420^{\circ}$;

6) $-315^{\circ}$;

7) $\frac{2\pi}{3}$;

8) $-\frac{5\pi}{6}$;

9) $6\pi$;

10) $-720^{\circ}$.

1) 225°
Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $225^\circ$ против часовой стрелки. Этот угол находится в третьей координатной четверти, так как $180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$. Угол можно представить с помощью формулы приведения: $225^\circ = 180^\circ + 45^\circ$. Координаты искомой точки $P$ на единичной окружности равны $(\cos(225^\circ), \sin(225^\circ))$.
$\cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin(225^\circ) = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, точка находится на биссектрисе третьего координатного угла.
Ответ: $P(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) -60°
Поворот на отрицательный угол $-60^\circ$ означает поворот по часовой стрелке на $60^\circ$. Точка окажется в четвертой координатной четверти. Координаты точки $P$ на единичной окружности: $(\cos(-60^\circ), \sin(-60^\circ))$.
$\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $P(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) $\frac{\pi}{6}$
Поворот на угол $\frac{\pi}{6}$ радиан против часовой стрелки. Этот угол соответствует $30^\circ$ и находится в первой координатной четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6}))$.
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $P(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

4) 320°
Поворот на угол $320^\circ$ против часовой стрелки. Этот угол находится в четвертой координатной четверти, так как $270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$. Угол $320^\circ$ можно также представить как поворот на $-40^\circ$ ($320^\circ - 360^\circ = -40^\circ$). Координаты точки $P$: $(\cos(320^\circ), \sin(320^\circ))$.
$\cos(320^\circ) = \cos(360^\circ - 40^\circ) = \cos(40^\circ)$.
$\sin(320^\circ) = \sin(360^\circ - 40^\circ) = -\sin(40^\circ)$.
Так как $40^\circ$ не является "табличным" углом, точные значения косинуса и синуса не выражаются через простые дроби и корни. Точка расположена в четвертой четверти.
Ответ: $P(\cos(320^\circ), \sin(320^\circ))$.

5) 420°
Поворот на угол $420^\circ$ против часовой стрелки. Так как угол больше $360^\circ$, мы можем вычесть полный оборот, чтобы найти эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$: $420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$. Таким образом, поворот на $420^\circ$ эквивалентен повороту на $60^\circ$. Угол находится в первой четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(420^\circ), \sin(420^\circ))$.
$\cos(420^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\sin(420^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

6) -315°
Поворот на угол $-315^\circ$ по часовой стрелке. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, можно прибавить $360^\circ$: $-315^\circ + 360^\circ = 45^\circ$. Поворот на $-315^\circ$ эквивалентен повороту на $45^\circ$ против часовой стрелки. Угол находится в первой четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(-315^\circ), \sin(-315^\circ))$.
$\cos(-315^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sin(-315^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Точка находится на биссектрисе первого координатного угла.
Ответ: $P(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

7) $\frac{2\pi}{3}$
Поворот на угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан против часовой стрелки. В градусах это $\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 120^\circ$. Этот угол находится во второй четверти. Используя формулы приведения: $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$. Координаты точки $P$: $(\cos(\frac{2\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3}))$.
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $P(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

8) $-\frac{5\pi}{6}$
Поворот на угол $-\frac{5\pi}{6}$ радиан по часовой стрелке. В градусах это $-\frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -150^\circ$. Этот угол находится в третьей четверти. Координаты точки $P$: $(\cos(-\frac{5\pi}{6}), \sin(-\frac{5\pi}{6}))$.
$\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\sin(150^\circ) = -\sin(180^\circ - 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

9) $6\pi$
Поворот на угол $6\pi$ радиан. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Угол $6\pi$ равен $3 \times 2\pi$. Это означает три полных оборота против часовой стрелки. После каждого полного оборота точка возвращается в исходное положение $P_0(1, 0)$. Таким образом, итоговая точка совпадает с начальной.
Координаты точки $P$: $(\cos(6\pi), \sin(6\pi)) = (\cos(0), \sin(0))$.
$\cos(0) = 1, \sin(0) = 0$.
Ответ: $P(1, 0)$.

10) -720°
Поворот на угол $-720^\circ$. Полный оборот составляет $360^\circ$. Угол $-720^\circ$ равен $-2 \times 360^\circ$. Это означает два полных оборота по часовой стрелке. Точка вернется в свое начальное положение $P_0(1, 0)$.
Координаты точки $P$: $(\cos(-720^\circ), \sin(-720^\circ)) = (\cos(0^\circ), \sin(0^\circ))$.
$\cos(0^\circ) = 1, \sin(0^\circ) = 0$.
Ответ: $P(1, 0)$.