Номер 14.12, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.12. Найдите координаты точки единичной окружности, полученной при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{\pi}{2}$;

2) $\pi$;

3) $-90^{\circ}$;

4) $-180^{\circ}$;

5) $\frac{5\pi}{2}$;

6) $-\frac{3\pi}{2}$;

7) $450^{\circ}$;

8) $-2\pi$.

Для нахождения координат точки на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, используются формулы:

$x = \cos(\alpha)$

$y = \sin(\alpha)$

где $x$ и $y$ — искомые координаты.

1) $\frac{\pi}{2}$

При повороте на угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$ координаты точки будут:

$x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

2) $\pi$

При повороте на угол $\alpha = \pi$ координаты точки будут:

$x = \cos(\pi) = -1$

$y = \sin(\pi) = 0$

Координаты полученной точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

3) $-90^\circ$

Угол $-90^\circ$ соответствует повороту по часовой стрелке на $90^\circ$. В радианах это $-\frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(-90^\circ) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-90^\circ) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

Координаты полученной точки: $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$.

4) $-180^\circ$

Угол $-180^\circ$ соответствует повороту по часовой стрелке на $180^\circ$. В радианах это $-\pi$.

$x = \cos(-180^\circ) = \cos(-\pi) = -1$

$y = \sin(-180^\circ) = \sin(-\pi) = 0$

Координаты полученной точки: $(-1; 0)$.

Ответ: $(-1; 0)$.

5) $\frac{5\pi}{2}$

Угол $\frac{5\pi}{2}$ больше полного оборота ($2\pi$). Чтобы найти эквивалентный угол в пределах одного оборота, вычтем $2\pi$: $\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

6) $-\frac{3\pi}{2}$

Чтобы найти эквивалентный положительный угол, прибавим $2\pi$: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

$x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$y = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

7) $450^\circ$

Угол $450^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Вычтем $360^\circ$: $450^\circ - 360^\circ = 90^\circ$.

$x = \cos(450^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

$y = \sin(450^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Координаты полученной точки: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

8) $-2\pi$

Угол $-2\pi$ соответствует полному обороту по часовой стрелке. Точка возвращается в свое начальное положение.

$x = \cos(-2\pi) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(-2\pi) = \sin(0) = 0$

Координаты полученной точки: $(1; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$.