Номер 14.17, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.17. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 (0; 1)$;

2) $P_2 (-1; 0)$;

3) $P_3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$;

4) $P_4 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

1) $P_1(0; 1)$;

Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат приводит к точке с координатами $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Для получения точки $P_1(0; 1)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых одновременно выполняются равенства:
$\cos\alpha = 0$
$\sin\alpha = 1$
Эти условия соответствуют точке на единичной окружности, которая находится на положительной части оси ординат (оси OY). Основное значение угла, удовлетворяющее этим условиям, равно $\frac{\pi}{2}$. Поскольку тригонометрические функции имеют период $2\pi$, все возможные углы поворота можно найти по формуле:
$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2(-1; 0)$;

Для получения точки $P_2(-1; 0)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются равенства:
$\cos\alpha = -1$
$\sin\alpha = 0$
Эти условия соответствуют точке на единичной окружности, которая находится на отрицательной части оси абсцисс (оси OX). Основное значение угла равно $\pi$. Общее решение для всех таких углов имеет вид:
$\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $P_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$;

Для получения точки $P_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются равенства:
$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\alpha = -\frac{1}{2}$
Положительное значение косинуса и отрицательное значение синуса указывают на то, что угол $\alpha$ находится в IV координатной четверти. Опорный угол, для которого $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\theta = \frac{1}{2}$, равен $\theta = \frac{\pi}{6}$. В IV четверти угол с такими значениями тригонометрических функций равен $-\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$). Общее решение:
$\alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $P_4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

Для получения точки $P_4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ необходимо найти все углы $\alpha$, для которых выполняются равенства:
$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отрицательное значение косинуса и положительное значение синуса указывают на то, что угол $\alpha$ находится во II координатной четверти. Опорный угол, для которого $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $\theta = \frac{\pi}{4}$. Во II четверти соответствующий угол равен $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Общее решение для всех таких углов:
$\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.