Номер 14.22, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.22. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3};$

2) $\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}.$

1) $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители, при условии, что решение не будет противоречить ОДЗ.

$x^2 - 6 = x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются числа $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, поэтому он является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 \neq 3$.

Ответ: $-2$.

2) $\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Все знаменатели должны быть отличны от нуля:

$x \neq 0$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x^2 - 2x = x(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 2)$.

$\frac{(3x - 1)(x - 2)}{x(x - 2)} - \frac{4x}{x(x - 2)} = \frac{10 - 9x}{x(x - 2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x - 2)$, чтобы избавиться от дробей (при этом помним об ОДЗ):

$(3x - 1)(x - 2) - 4x = 10 - 9x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 6x - x + 2 - 4x = 10 - 9x$

$3x^2 - 11x + 2 = 10 - 9x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 11x + 9x + 2 - 10 = 0$

$3x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.