Номер 5, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

и какова область значений функций $y = \sin x$. $y = \cos x$.

Чему равен $\sin(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$? $\cos(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$?

$\sin(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$

Функция синус, $y = \sin(x)$, является периодической. Её основной (наименьший положительный) период равен $2\pi$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый интервал, равный $2\pi$.

По определению периодической функции, если $T$ — период функции $f(x)$, то $f(x + kT) = f(x)$ для любого целого числа $k$. В данном случае $T = 2\pi$, а в роли $k$ выступает $n$. Таким образом, прибавление к аргументу $\alpha$ целого числа полных оборотов ($2\pi n$) не изменяет значение синуса.

Это свойство можно также доказать с помощью формулы синуса суммы:
$\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$

Подставим $A = \alpha$ и $B = 2\pi n$:
$\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)\cos(2\pi n) + \cos(\alpha)\sin(2\pi n)$

Для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$ верны следующие равенства:
$\cos(2\pi n) = 1$
$\sin(2\pi n) = 0$

Подставив эти значения в формулу, получаем:
$\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha) \cdot 1 + \cos(\alpha) \cdot 0 = \sin(\alpha)$

Ответ: $\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)$

$\cos(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$

Функция косинус, $y = \cos(x)$, так же, как и синус, является периодической с основным периодом $2\pi$. Это значит, что $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$.

Следовательно, прибавление к аргументу $\alpha$ числа $2\pi n$ (где $n$ — любое целое число) не изменит значение функции косинус.

Для формального доказательства воспользуемся формулой косинуса суммы:
$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$

Подставим $A = \alpha$ и $B = 2\pi n$:
$\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)\cos(2\pi n) - \sin(\alpha)\sin(2\pi n)$

Поскольку для любого целого $n \in \mathbb{Z}$ значения $\cos(2\pi n) = 1$ и $\sin(2\pi n) = 0$, подставляем их в формулу:
$\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha) \cdot 1 - \sin(\alpha) \cdot 0 = \cos(\alpha)$

Ответ: $\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)$