Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют косинусом угла поворота? Синусом угла поворота? тангенсом угла поворота? Котангенсом угла поворота?

Для определения тригонометрических функций для произвольного угла поворота используется единичная окружность в декартовой системе координат. Это окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом, равным единице ($R=1$). Начальное положение радиуса — на положительной части оси абсцисс, его конец находится в точке $P_0(1, 0)$. При повороте этого радиуса на угол $\alpha$ (положительное направление — против часовой стрелки) его конечная точка перемещается в точку $P_\alpha(x, y)$. Координаты этой точки и лежат в основе определений синуса и косинуса.

Косинусом угла поворота

Косинусом угла поворота $\alpha$ называют абсциссу (координату $x$) точки $P_\alpha(x, y)$, в которую переходит начальная точка $P_0(1, 0)$ на единичной окружности при повороте на угол $\alpha$ вокруг начала координат.
Таким образом, $\cos(\alpha) = x$.

Ответ: Косинусом угла поворота $\alpha$ называют абсциссу точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$.

Синусом угла поворота

Синусом угла поворота $\alpha$ называют ординату (координату $y$) точки $P_\alpha(x, y)$, в которую переходит начальная точка $P_0(1, 0)$ на единичной окружности при повороте на угол $\alpha$ вокруг начала координат.
Таким образом, $\sin(\alpha) = y$.

Ответ: Синусом угла поворота $\alpha$ называют ординату точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$.

Тангенсом угла поворота

Тангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение синуса этого угла к его косинусу.
Формула: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Поскольку на единичной окружности $\sin(\alpha) = y$ и $\cos(\alpha) = x$, то $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$.
Тангенс определен для всех углов, кроме тех, где косинус равен нулю, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: Тангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение синуса угла $\alpha$ к его косинусу.

Котангенсом угла поворота

Котангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение косинуса этого угла к его синусу.
Формула: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Используя координаты точки на единичной окружности, получаем: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$.
Котангенс определен для всех углов, кроме тех, где синус равен нулю, то есть $\alpha \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: Котангенсом угла поворота $\alpha$ называют отношение косинуса угла $\alpha$ к его синусу.

2. Поясните, что называют тригонометрическими функциями угла поворота; числового аргумента.

угла поворота

Для определения тригонометрических функций угла поворота используется единичная (или тригонометрическая) окружность. Это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат $(0, 0)$ в декартовой системе координат. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 1$.

За начальную точку принимается точка $P_0$ с координатами $(1, 0)$, расположенная на положительной части оси абсцисс. При повороте этой точки на угол $\alpha$ вокруг начала координат мы получаем новую точку $P_{\alpha}$ с координатами $(x, y)$. Положительным считается поворот против часовой стрелки, отрицательным — по часовой стрелке.

Тригонометрические функции угла поворота $\alpha$ определяются через координаты точки $P_{\alpha}(x, y)$ следующим образом:

• Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называется ордината (координата $y$) точки $P_{\alpha}$.
  $\sin(\alpha) = y$
• Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называется абсцисса (координата $x$) точки $P_{\alpha}$.
  $\cos(\alpha) = x$
• Тангенсом угла $\alpha$ (обозначается $\tan \alpha$) называется отношение ординаты точки $P_{\alpha}$ к её абсциссе.
  $\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (определён при $x \ne 0$, то есть $\cos \alpha \ne 0$)
• Котангенсом угла $\alpha$ (обозначается $\cot \alpha$) называется отношение абсциссы точки $P_{\alpha}$ к её ординате.
  $\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (определён при $y \ne 0$, то есть $\sin \alpha \ne 0$)

Таким образом, каждой величине угла поворота $\alpha$ ставится в соответствие определённое значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Ответ: Тригонометрические функции угла поворота $\alpha$ — это функции (синус, косинус, тангенс, котангенс), которые ставят в соответствие углу $\alpha$ координаты ($x, y$) и их отношения для точки, полученной на единичной окружности в результате поворота начальной точки $(1, 0)$ на этот угол: $\cos \alpha = x$, $\sin \alpha = y$, $\tan \alpha = y/x$, $\cot \alpha = x/y$.

числового аргумента

Тригонометрические функции можно рассматривать не только как функции угла, но и как функции числового аргумента. Этот переход осуществляется с помощью радианной меры угла.

Каждому действительному числу $t$ можно поставить в соответствие угол, радианная мера которого равна $t$ радиан. На единичной окружности угол в $t$ радиан соответствует дуге, длина которой равна $|t|$.

Таким образом, тригонометрические функции числового аргумента $t$ определяются как соответствующие тригонометрические функции угла, равного $t$ радиан. То есть, чтобы найти, например, синус числа $t$, нужно найти синус угла в $t$ радиан.

• Синус числа $t$ ($\sin t$) — это синус угла в $t$ радиан.
• Косинус числа $t$ ($\cos t$) — это косинус угла в $t$ радиан.
• Тангенс числа $t$ ($\tan t$) — это тангенс угла в $t$ радиан.
• Котангенс числа $t$ ($\cot t$) — это котангенс угла в $t$ радиан.

Все формулы и определения, данные для угла поворота $\alpha$ в радианах, остаются справедливыми и для числового аргумента $t$. Если точка $P_t(x, y)$ получена поворотом точки $P_0(1, 0)$ на угол $t$ радиан, то:$\sin(t) = y$, $\cos(t) = x$, $\tan(t) = \frac{y}{x}$, $\cot(t) = \frac{x}{y}$.

Такой подход позволяет определить тригонометрические функции для любого действительного числа, а не только для величины угла, и изучать их свойства методами математического анализа.

Ответ: Тригонометрическими функциями числового аргумента $t$ называют те же самые тригонометрические функции, но аргументом выступает не угол, а действительное число $t$, которое соответствует радианной мере этого угла. Таким образом, $\sin t$, $\cos t$, $\tan t$ и $\cot t$ — это синус, косинус, тангенс и котангенс угла, величина которого составляет $t$ радиан.

3. Какова область определения функции $y = \sin x$? $y = \cos x$?

y = sin x?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (то есть может быть вычислена).
Функция $y = \sin x$ является одной из основных тригонометрических функций. По своему определению, синус угла (или числа) $x$ существует для любого действительного числа $x$. В выражении $\sin x$ нет никаких математических операций, которые бы накладывали ограничения на значения аргумента, таких как деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа или вычисление логарифма от неположительного числа. Поэтому функция определена на всей числовой оси.
Ответ: Область определения функции $y = \sin x$ — это множество всех действительных чисел, что можно записать как $D(y) = \mathbb{R}$ или $x \in (-\infty; +\infty)$.

y = cos x?

Аналогично функции синуса, функция $y = \cos x$ также является основной тригонометрической функцией. Она определена для любого действительного значения аргумента $x$.
В определении функции косинуса отсутствуют какие-либо математические ограничения на аргумент. Косинус можно вычислить для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения функции косинуса также включает все действительные числа.
Ответ: Область определения функции $y = \cos x$ — это множество всех действительных чисел, что можно записать как $D(y) = \mathbb{R}$ или $x \in (-\infty; +\infty)$.

4. Какова область значений функции $y = \sin x$? $y = \cos x$?

Область значений функции — это множество всех значений, которые функция $y$ может принимать при всех допустимых значениях аргумента $x$. Для нахождения области значений функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ удобно воспользоваться их определением через единичную окружность.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$. Для любого угла $x$ точка $P(x)$ на этой окружности, соответствующая данному углу, имеет координаты $(\cos x, \sin x)$.

y = sin x

Значение функции $y = \sin x$ равно ординате (координате по оси $y$) точки на единичной окружности. Поскольку радиус окружности равен 1, любая точка на ней не может находиться выше $y=1$ или ниже $y=-1$.
Максимальное значение, равное 1, синус принимает при углах $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение, равное -1, синус принимает при углах $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $y = \sin x$ является непрерывной и принимает все промежуточные значения между -1 и 1. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \sin x \le 1$.
Ответ: Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

y = cos x

Значение функции $y = \cos x$ равно абсциссе (координате по оси $x$) точки на единичной окружности. Аналогично синусу, так как радиус окружности равен 1, любая точка на ней не может находиться правее $x=1$ или левее $x=-1$.
Максимальное значение, равное 1, косинус принимает при углах $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение, равное -1, косинус принимает при углах $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $y = \cos x$ также является непрерывной и принимает все промежуточные значения между -1 и 1. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \cos x \le 1$.
Ответ: Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

и какова область значений функций $y = \sin x$. $y = \cos x$.

Чему равен $\sin(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$? $\cos(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$?

$\sin(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$

Функция синус, $y = \sin(x)$, является периодической. Её основной (наименьший положительный) период равен $2\pi$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый интервал, равный $2\pi$.

По определению периодической функции, если $T$ — период функции $f(x)$, то $f(x + kT) = f(x)$ для любого целого числа $k$. В данном случае $T = 2\pi$, а в роли $k$ выступает $n$. Таким образом, прибавление к аргументу $\alpha$ целого числа полных оборотов ($2\pi n$) не изменяет значение синуса.

Это свойство можно также доказать с помощью формулы синуса суммы:
$\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$

Подставим $A = \alpha$ и $B = 2\pi n$:
$\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)\cos(2\pi n) + \cos(\alpha)\sin(2\pi n)$

Для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$ верны следующие равенства:
$\cos(2\pi n) = 1$
$\sin(2\pi n) = 0$

Подставив эти значения в формулу, получаем:
$\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha) \cdot 1 + \cos(\alpha) \cdot 0 = \sin(\alpha)$

Ответ: $\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)$

$\cos(\alpha + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$

Функция косинус, $y = \cos(x)$, так же, как и синус, является периодической с основным периодом $2\pi$. Это значит, что $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$.

Следовательно, прибавление к аргументу $\alpha$ числа $2\pi n$ (где $n$ — любое целое число) не изменит значение функции косинус.

Для формального доказательства воспользуемся формулой косинуса суммы:
$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$

Подставим $A = \alpha$ и $B = 2\pi n$:
$\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)\cos(2\pi n) - \sin(\alpha)\sin(2\pi n)$

Поскольку для любого целого $n \in \mathbb{Z}$ значения $\cos(2\pi n) = 1$ и $\sin(2\pi n) = 0$, подставляем их в формулу:
$\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha) \cdot 1 - \sin(\alpha) \cdot 0 = \cos(\alpha)$

Ответ: $\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)$

6. Какова область определения функции $y = \operatorname{tg} x$? $y = \operatorname{ctg} x$?

Область определения функции (или домен) — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция определена.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Эта функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. То есть, $\cos x \neq 0$. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения функции $y = \operatorname{tg} x$.

Ответ: Область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ — это множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция котангенса определяется как отношение косинуса к синусу: $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Эта функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. То есть, $\sin x \neq 0$. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Ответ: Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7. Какова область значений функции $y = \operatorname{tg} x$? $y = \operatorname{ctg} x$?

y = tg x

Область значений функции (или множество значений) — это совокупность всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$.

Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Мы знаем, что значения функций $\sin x$ и $\cos x$ лежат в пределах от -1 до 1. Однако, когда аргумент $x$ приближается к значениям, при которых знаменатель $\cos x$ обращается в ноль (то есть, $x \to \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число), значение тангенса неограниченно растет или убывает.

Например, если $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ слева (обозначается $x \to \frac{\pi}{2}^-$), то $\sin x$ стремится к 1, а $\cos x$ стремится к 0, оставаясь положительным. В результате, значение дроби $\frac{\sin x}{\cos x}$ стремится к положительной бесконечности ($\tg x \to +\infty$).

Если же $x$ стремится к $\frac{\pi}{2}$ справа (обозначается $x \to \frac{\pi}{2}^+$), то $\sin x$ снова стремится к 1, но $\cos x$ стремится к 0, будучи отрицательным. В этом случае значение дроби стремится к отрицательной бесконечности ($\tg x \to -\infty$).

Так как функция тангенса непрерывна на всей своей области определения, она принимает все возможные действительные значения.

Ответ: Областью значений функции $y = \tg x$ является множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

y = ctg x

Функция котангенса определяется как отношение косинуса к синусу: $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Рассуждения аналогичны случаю с тангенсом. Значение функции не определено, когда знаменатель $\sin x$ равен нулю (то есть, при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число). В окрестности этих точек значение котангенса стремится к бесконечности.

Например, если $x$ стремится к $0$ справа ($x \to 0^+$), то $\cos x$ стремится к 1, а $\sin x$ стремится к 0, оставаясь положительным. В результате, значение $\ctg x$ стремится к положительной бесконечности ($\ctg x \to +\infty$).

Если же $x$ стремится к $0$ слева ($x \to 0^-$), то $\cos x$ стремится к 1, а $\sin x$ стремится к 0, будучи отрицательным. В этом случае значение $\ctg x$ стремится к отрицательной бесконечности ($\ctg x \to -\infty$).

Поскольку функция котангенса непрерывна на своей области определения, она может принимать любое действительное значение.

Ответ: Областью значений функции $y = \ctg x$ является множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

8. Чему равен $tg(\alpha + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$? $ctg(\alpha + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$?

tg(α + πn), где n ∈ ℤ

Для решения этого вопроса используется свойство периодичности функции тангенс. Наименьший положительный период функции $ y = \operatorname{tg}(x) $ равен $ \pi $. Это означает, что для любого целого числа $ k $ выполняется следующее равенство: $ \operatorname{tg}(x + \pi k) = \operatorname{tg}(x) $.

В выражении $ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) $, к аргументу $ \alpha $ прибавляется слагаемое $ \pi n $. Поскольку по условию $ n $ является целым числом ($ n \in \mathbb{Z} $), слагаемое $ \pi n $ представляет собой целое число периодов функции тангенс. Следовательно, значение функции не изменяется.

$ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{tg}(\alpha) $

Это равенство также можно доказать, используя определение тангенса через синус и косинус, а также формулы приведения.

$ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \frac{\sin(\alpha + \pi n)}{\cos(\alpha + \pi n)} $

Для любого целого $ n $ справедливы формулы приведения: $ \sin(\alpha + \pi n) = (-1)^n \sin(\alpha) $ $ \cos(\alpha + \pi n) = (-1)^n \cos(\alpha) $

Подставив эти выражения в исходную дробь, получаем: $ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \frac{(-1)^n \sin(\alpha)}{(-1)^n \cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \operatorname{tg}(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{tg}(\alpha) $

ctg(α + πn), где n ∈ ℤ

Решение для котангенса полностью аналогично. Функция котангенс, $ y = \operatorname{ctg}(x) $, также является периодической, и её наименьший положительный период равен $ \pi $. Поэтому для любого целого числа $ k $ верно равенство: $ \operatorname{ctg}(x + \pi k) = \operatorname{ctg}(x) $.

В выражении $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) $ к аргументу $ \alpha $ прибавляется $ \pi n $. Так как $ n \in \mathbb{Z} $, это слагаемое является целым кратным периода функции котангенс. Таким образом, значение функции не меняется.

$ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{ctg}(\alpha) $

Доказательство через определение котангенса и формулы приведения: $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \frac{\cos(\alpha + \pi n)}{\sin(\alpha + \pi n)} $

Используя те же формулы приведения, что и в предыдущем пункте: $ \cos(\alpha + \pi n) = (-1)^n \cos(\alpha) $ $ \sin(\alpha + \pi n) = (-1)^n \sin(\alpha) $

Подставляя эти выражения, получаем: $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \frac{(-1)^n \cos(\alpha)}{(-1)^n \sin(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{ctg}(\alpha) $

15.1. Вычислите значение выражения:

1) $2\cos 0^\circ + 3\sin 90^\circ$;

2) $4\operatorname{tg} 180^\circ - 2\operatorname{ctg} 90^\circ$;

3) $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ$;

4) $\sin 45^\circ \cos 60^\circ \operatorname{ctg} 30^\circ$;

5) $\sin 0 + \operatorname{tg} \pi - \sin \frac{3\pi}{2}$;

6) $5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi$;

7) $2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6}$;

8) $\sin \frac{\pi}{3} \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{6} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}$.

1) $2\cos 0^\circ + 3\sin 90^\circ$.
Для решения используем значения тригонометрических функций для стандартных углов: $\cos 0^\circ = 1$ и $\sin 90^\circ = 1$.
Подставляем эти значения в выражение:
$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$.
Ответ: 5

2) $4\text{tg } 180^\circ - 2\text{ctg } 90^\circ$.
Значения функций: $\text{tg } 180^\circ = 0$ и $\text{ctg } 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$.
Подставляем значения в выражение:
$4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Ответ: 0

3) $\sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ$.
Значения функций: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5

4) $\sin 45^\circ \cos 60^\circ \text{ ctg } 30^\circ$.
Значения функций: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\text{ctg } 30^\circ = \sqrt{3}$.
Подставляем значения в выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

5) $\sin 0 + \text{tg } \pi - \sin \frac{3\pi}{2}$.
Значения функций для углов в радианах: $\sin 0 = 0$, $\text{tg } \pi = 0$, $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$.
Подставляем значения в выражение:
$0 + 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

6) $5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi$.
Значения функций: $\cos \pi = -1$, $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$, $\cos 2\pi = 1$.
Подставляем значения в выражение:
$5 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = -5 + 0 + 2 = -3$.
Ответ: -3

7) $2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6}$.
Значения функций: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} = 1,75$.
Ответ: 1,75

8) $\sin \frac{\pi}{3} \text{tg}^2 \frac{\pi}{6} \text{ctg } \frac{\pi}{6}$.
Упростим выражение, зная что $\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1$.
$\text{tg}^2 \frac{\pi}{6} \text{ctg } \frac{\pi}{6} = (\text{tg } \frac{\pi}{6} \cdot \text{ctg } \frac{\pi}{6}) \cdot \text{tg } \frac{\pi}{6} = 1 \cdot \text{tg } \frac{\pi}{6} = \text{tg } \frac{\pi}{6}$.
Выражение принимает вид: $\sin \frac{\pi}{3} \cdot \text{tg } \frac{\pi}{6}$.
Значения функций: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Подставляем значения:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5

15.2. Чему равно значение выражения:

1) $ \cos 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}; $

2) $ 7\mathrm{tg}^2 45^{\circ} - 3\mathrm{ctg} 45^{\circ}; $

3) $ \sin 180^{\circ} \cos 120^{\circ} \mathrm{tg} 60^{\circ}; $

4) $ \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} \mathrm{ctg} \frac{\pi}{3}; $

5) $ \cos \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{3\pi}{2} + \mathrm{ctg} \frac{3\pi}{2}; $

6) $ 6\cos 0 + 4\sin 2\pi + 4\sin^2 \frac{2\pi}{3}? $

1) cos 60° + sin 30°

Для решения этого выражения необходимо знать значения стандартных тригонометрических углов. Значение косинуса 60 градусов и синуса 30 градусов являются табличными:

$cos 60° = \frac{1}{2}$

$sin 30° = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним сложение:

$cos 60° + sin 30° = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1

2) 7tg²45° - 3ctg 45°

Найдем табличные значения тангенса и котангенса 45 градусов:

$tg 45° = 1$

$ctg 45° = 1$

Выражение $tg^2 45°$ означает $(tg 45°)^2$. Подставим значения в выражение:

$7tg^2 45° - 3ctg 45° = 7 \cdot (1)^2 - 3 \cdot 1 = 7 \cdot 1 - 3 = 7 - 3 = 4$

Ответ: 4

3) sin 180° cos 120° tg 60°

Найдем значения для каждой тригонометрической функции:

$sin 180° = 0$

Так как один из множителей равен нулю, все произведение будет равно нулю. Для полноты решения найдем и остальные значения:

$cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60° = -\frac{1}{2}$

$tg 60° = \sqrt{3}$

Теперь перемножим все значения:

$sin 180° \cdot cos 120° \cdot tg 60° = 0 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \sqrt{3} = 0$

Ответ: 0

4) sin(π/4) cos(π/4) ctg(π/3)

Найдем значения тригонометрических функций в радианах:

$sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставим найденные значения и вычислим произведение:

$sin\frac{\pi}{4} \cdot cos\frac{\pi}{4} \cdot ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{2})^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

5) cos(3π/2) - sin(3π/2) + ctg(3π/2)

Найдем значения функций для угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует 270°):

$cos\frac{3\pi}{2} = 0$

$sin\frac{3\pi}{2} = -1$

$ctg\frac{3\pi}{2} = \frac{cos\frac{3\pi}{2}}{sin\frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0$

Подставим значения в выражение:

$cos\frac{3\pi}{2} - sin\frac{3\pi}{2} + ctg\frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) + 0 = 1$

Ответ: 1

6) 6cos 0 + 4sin 2π + 4sin²(2π/3)

Найдем значения для каждой части выражения:

$cos 0 = 1$

$sin 2\pi = 0$

Для $sin^2\frac{2\pi}{3}$ сначала найдем $sin\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ равен 120°.

$sin\frac{2\pi}{3} = sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь возведем это значение в квадрат:

$sin^2\frac{2\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

Подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$6 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 6 + 0 + 3 = 9$

Ответ: 9

15.3. Известно, что $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Найдите и сравните значения выражений:

1) $\sin 2\alpha$ и $2\sin \alpha$;

2) $\cos 3\alpha$ и $3\cos \alpha$.

1) sin 2α и 2sin α

Дано значение $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Подставим его в оба выражения, чтобы найти их значения.

Сначала вычислим значение выражения $\sin(2\alpha)$:
$\sin(2\alpha) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $\sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим значение выражения $2\sin(\alpha)$:
$2\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
$2\sin(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Осталось сравнить полученные значения: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $1$.
Для сравнения дроби $\frac{\sqrt{3}}{2}$ с единицей, сравним числитель $\sqrt{3}$ со знаменателем $2$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$.
Поскольку $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$. Разделив обе части неравенства на положительное число 2, получаем $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$.
Следовательно, $\sin(2\alpha) < 2\sin(\alpha)$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $2\sin(\alpha) = 1$; $\sin(2\alpha) < 2\sin(\alpha)$.

2) cos 3α и 3cos α

Аналогично первому пункту, подставим значение $\alpha = \frac{\pi}{6}$ в оба выражения.

Вычислим значение выражения $\cos(3\alpha)$:
$\cos(3\alpha) = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{2}$ равно $0$.
Таким образом, $\cos(3\alpha) = 0$.

Теперь вычислим значение выражения $3\cos(\alpha)$:
$3\cos(\alpha) = 3\cos(\frac{\pi}{6})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$3\cos(\alpha) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Сравним полученные значения: $0$ и $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $\sqrt{3}$ — положительное число, то и произведение $3\sqrt{3}$ тоже положительно, как и дробь $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Любое положительное число больше нуля, поэтому $\frac{3\sqrt{3}}{2} > 0$.
Следовательно, $\cos(3\alpha) < 3\cos(\alpha)$.

Ответ: $\cos(3\alpha) = 0$, $3\cos(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$; $\cos(3\alpha) < 3\cos(\alpha)$.

15.4. Известно, что $\beta = \frac{\pi}{4}$. Найдите и сравните значения выражений:

1) $\sin 4\beta$ и $4\sin \beta$;

2) $\text{tg } 4\beta$ и $4\text{tg } \beta$.

1) sin 4β и 4sin β;

Дано, что $\beta = \frac{\pi}{4}$. Подставим это значение в каждое из выражений, чтобы найти их значения и затем сравнить.

Найдем значение первого выражения $\sin 4\beta$:
$\sin 4\beta = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi)$.
Значение синуса угла $\pi$ радиан равно 0.
Таким образом, $\sin 4\beta = 0$.

Найдем значение второго выражения $4\sin \beta$:
$4\sin \beta = 4\sin(\frac{\pi}{4})$.
Значение синуса угла $\frac{\pi}{4}$ радиан равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $4\sin \beta = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь сравним полученные значения: $0$ и $2\sqrt{2}$.
Поскольку $\sqrt{2} > 0$, то и $2\sqrt{2} > 0$.
Следовательно, $0 < 2\sqrt{2}$, что означает $\sin 4\beta < 4\sin \beta$.

Ответ: $\sin 4\beta = 0$, $4\sin \beta = 2\sqrt{2}$; $\sin 4\beta < 4\sin \beta$.

2) tg 4β и 4tg β.

Аналогично подставим значение $\beta = \frac{\pi}{4}$ в каждое из выражений.

Найдем значение первого выражения $\operatorname{tg} 4\beta$:
$\operatorname{tg} 4\beta = \operatorname{tg}(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(\pi)$.
Значение тангенса угла $\pi$ радиан равно 0.
Таким образом, $\operatorname{tg} 4\beta = 0$.

Найдем значение второго выражения $4\operatorname{tg} \beta$:
$4\operatorname{tg} \beta = 4\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$.
Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ радиан равно 1.
Таким образом, $4\operatorname{tg} \beta = 4 \cdot 1 = 4$.

Теперь сравним полученные значения: $0$ и $4$.
Очевидно, что $0 < 4$.
Следовательно, $\operatorname{tg} 4\beta < 4\operatorname{tg} \beta$.

Ответ: $\operatorname{tg} 4\beta = 0$, $4\operatorname{tg} \beta = 4$; $\operatorname{tg} 4\beta < 4\operatorname{tg} \beta$.