Номер 2, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Поясните, что называют тригонометрическими функциями угла поворота; числового аргумента.

угла поворота

Для определения тригонометрических функций угла поворота используется единичная (или тригонометрическая) окружность. Это окружность с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат $(0, 0)$ в декартовой системе координат. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 1$.

За начальную точку принимается точка $P_0$ с координатами $(1, 0)$, расположенная на положительной части оси абсцисс. При повороте этой точки на угол $\alpha$ вокруг начала координат мы получаем новую точку $P_{\alpha}$ с координатами $(x, y)$. Положительным считается поворот против часовой стрелки, отрицательным — по часовой стрелке.

Тригонометрические функции угла поворота $\alpha$ определяются через координаты точки $P_{\alpha}(x, y)$ следующим образом:

• Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называется ордината (координата $y$) точки $P_{\alpha}$.
  $\sin(\alpha) = y$
• Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называется абсцисса (координата $x$) точки $P_{\alpha}$.
  $\cos(\alpha) = x$
• Тангенсом угла $\alpha$ (обозначается $\tan \alpha$) называется отношение ординаты точки $P_{\alpha}$ к её абсциссе.
  $\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (определён при $x \ne 0$, то есть $\cos \alpha \ne 0$)
• Котангенсом угла $\alpha$ (обозначается $\cot \alpha$) называется отношение абсциссы точки $P_{\alpha}$ к её ординате.
  $\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (определён при $y \ne 0$, то есть $\sin \alpha \ne 0$)

Таким образом, каждой величине угла поворота $\alpha$ ставится в соответствие определённое значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Ответ: Тригонометрические функции угла поворота $\alpha$ — это функции (синус, косинус, тангенс, котангенс), которые ставят в соответствие углу $\alpha$ координаты ($x, y$) и их отношения для точки, полученной на единичной окружности в результате поворота начальной точки $(1, 0)$ на этот угол: $\cos \alpha = x$, $\sin \alpha = y$, $\tan \alpha = y/x$, $\cot \alpha = x/y$.

числового аргумента

Тригонометрические функции можно рассматривать не только как функции угла, но и как функции числового аргумента. Этот переход осуществляется с помощью радианной меры угла.

Каждому действительному числу $t$ можно поставить в соответствие угол, радианная мера которого равна $t$ радиан. На единичной окружности угол в $t$ радиан соответствует дуге, длина которой равна $|t|$.

Таким образом, тригонометрические функции числового аргумента $t$ определяются как соответствующие тригонометрические функции угла, равного $t$ радиан. То есть, чтобы найти, например, синус числа $t$, нужно найти синус угла в $t$ радиан.

• Синус числа $t$ ($\sin t$) — это синус угла в $t$ радиан.
• Косинус числа $t$ ($\cos t$) — это косинус угла в $t$ радиан.
• Тангенс числа $t$ ($\tan t$) — это тангенс угла в $t$ радиан.
• Котангенс числа $t$ ($\cot t$) — это котангенс угла в $t$ радиан.

Все формулы и определения, данные для угла поворота $\alpha$ в радианах, остаются справедливыми и для числового аргумента $t$. Если точка $P_t(x, y)$ получена поворотом точки $P_0(1, 0)$ на угол $t$ радиан, то:$\sin(t) = y$, $\cos(t) = x$, $\tan(t) = \frac{y}{x}$, $\cot(t) = \frac{x}{y}$.

Такой подход позволяет определить тригонометрические функции для любого действительного числа, а не только для величины угла, и изучать их свойства методами математического анализа.

Ответ: Тригонометрическими функциями числового аргумента $t$ называют те же самые тригонометрические функции, но аргументом выступает не угол, а действительное число $t$, которое соответствует радианной мере этого угла. Таким образом, $\sin t$, $\cos t$, $\tan t$ и $\cot t$ — это синус, косинус, тангенс и котангенс угла, величина которого составляет $t$ радиан.