Номер 14.20, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.20. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$;

2) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$;

3) $\frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам:

$x = \cos \alpha$

$y = \sin \alpha$

1) $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

В данном случае угол поворота равен $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов, которые не влияют на конечное положение точки на окружности. Поэтому для любого целого значения $k$ мы получаем одну и ту же точку, положение которой определяется углом $\frac{3\pi}{4}$.

Найдем координаты этой точки:

$x = \cos(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, все углы этого вида соответствуют одной точке.

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) $ -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$. Слагаемое $\pi k$ соответствует повороту на $180^\circ \cdot k$. Это означает, что в зависимости от четности $k$ мы будем получать разные точки, диаметрально противоположные друг другу.

Рассмотрим два случая:

1. Если $k$ — четное число (например, $k=0$), то угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.

Координаты точки:

$x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Получаем точку $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2. Если $k$ — нечетное число (например, $k=1$), то угол поворота $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.

Координаты точки:

$x = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Получаем точку $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

При других значениях $k$ эти две точки будут повторяться.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

3) $ \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Угол поворота равен $\alpha = \frac{\pi k}{2}$. Рассмотрим последовательные целые значения $k$, чтобы найти все уникальные точки.

• При $k=0$: $\alpha = 0$. Координаты: $(\cos 0; \sin 0) = (1; 0)$.
• При $k=1$: $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Координаты: $(\cos \frac{\pi}{2}; \sin \frac{\pi}{2}) = (0; 1)$.
• При $k=2$: $\alpha = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Координаты: $(\cos \pi; \sin \pi) = (-1; 0)$.
• При $k=3$: $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. Координаты: $(\cos \frac{3\pi}{2}; \sin \frac{3\pi}{2}) = (0; -1)$.

При $k=4$ угол равен $\alpha = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$, что соответствует той же точке, что и при $k=0$. Таким образом, существует 4 различные точки, которые циклически повторяются при увеличении $k$. Эти точки являются точками пересечения единичной окружности с осями координат.

Ответ: $(1; 0)$, $(0; 1)$, $(-1; 0)$, $(0; -1)$.