Номер 14.18, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.18. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0 (1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 (0; -1);$

2) $P_2 \left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

3) $P_3 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Поворот точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат переводит ее в точку $P_\alpha$ с координатами $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Наша задача — найти все углы $\alpha$, для которых точка $P_\alpha$ совпадает с заданной точкой $P(x; y)$. Это означает, что нам нужно решить систему уравнений для каждого случая:

$\begin{cases} \cos \alpha = x \\ \sin \alpha = y \end{cases}$

Поскольку тригонометрические функции периодичны с периодом $2\pi$ (или $360^\circ$), общее решение будет иметь вид $\alpha = \alpha_0 + 2\pi n$, где $\alpha_0$ — одно из частных решений, а $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

1) $P_1(0; -1)$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых:

$\begin{cases} \cos \alpha = 0 \\ \sin \alpha = -1 \end{cases}$

На единичной окружности этим условиям соответствует точка, лежащая на отрицательной части оси OY. Это соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $270^\circ$). Учитывая периодичность, все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0$, чтобы получить точку $P_1$, выражаются формулой:

$\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых:

$\begin{cases} \cos \alpha = \frac{1}{2} \\ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Это табличные значения для тригонометрических функций. Точка с такими координатами находится в первой четверти единичной окружности, так как и косинус, и синус положительны. Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, а синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, — это $\frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$). С учетом периодичности общее решение имеет вид:

$\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $P_3(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$

Нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых:

$\begin{cases} \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

Оба значения, косинус и синус, отрицательны. Это означает, что точка находится в третьей четверти единичной окружности. Опорный угол $\beta$, для которого $\cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $\beta = \frac{\pi}{4}$. Для третьей четверти искомый угол $\alpha$ равен $\pi + \beta$.

$\alpha = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение с учетом периодичности:

$\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.