Номер 14.11, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.11. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $94^\circ$;

2) $176^\circ$;

3) $200^\circ$;

4) $-100^\circ$;

5) $-380^\circ$;

6) $700^\circ$;

7) $-800^\circ$;

8) $\frac{3\pi}{4}$;

9) $-\frac{3\pi}{4}$;

10) $-\frac{7\pi}{3}$;

11) $5,5\pi$;

12) $-\frac{11\pi}{6}$;

13) $1$;

14) $-3$;

15) $5?$;

Для определения четверти, в которой находится точка на единичной окружности после поворота на заданный угол от начальной точки $P_0(1; 0)$, необходимо соотнести угол с диапазонами координатных четвертей. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой.

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов $\alpha$:

• I четверть: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ или $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• II четверть: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$
• III четверть: $180^\circ < \alpha < 270^\circ$ или $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: $270^\circ < \alpha < 360^\circ$ или $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

1) 94°

Так как $90^\circ < 94^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) 176°

Так как $90^\circ < 176^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

3) 200°

Так как $180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

4) -100°

Для отрицательного угла найдем эквивалентный ему положительный угол в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$, прибавив $360^\circ$: $-100^\circ + 360^\circ = 260^\circ$. Так как $180^\circ < 260^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

5) -380°

Приведем угол к диапазону $[0^\circ, 360^\circ)$. Угол $-380^\circ$ отличается от угла $-20^\circ$ на полный оборот ($-380^\circ = -360^\circ - 20^\circ$). Эквивалентный положительный угол: $-20^\circ + 360^\circ = 340^\circ$. Так как $270^\circ < 340^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

6) 700°

Приведем угол к диапазону $[0^\circ, 360^\circ)$, вычитая полный оборот: $700^\circ - 360^\circ = 340^\circ$. Так как $270^\circ < 340^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

7) -800°

Приведем угол к диапазону $[0^\circ, 360^\circ)$, прибавляя полные обороты: $-800^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -800^\circ + 1080^\circ = 280^\circ$. Так как $270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

8) $\frac{3\pi}{4}$

Угол задан в радианах. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$ (или $0.5\pi < 0.75\pi < 1\pi$), точка находится во второй четверти.

Ответ: II четверть.

9) $-\frac{3\pi}{4}$

Угол задан в радианах. Найдем эквивалентный положительный угол в диапазоне $[0, 2\pi)$: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Так как $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$ (или $1\pi < 1.25\pi < 1.5\pi$), точка находится в третьей четверти.

Ответ: III четверть.

10) $-\frac{7\pi}{3}$

Упростим угол: $-\frac{7\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$. Угол котерминален углу $-\frac{\pi}{3}$. Найдем эквивалентный положительный угол: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ (или $1.5\pi < 1.66...\pi < 2\pi$), точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.

11) $5,5\pi$

Приведем угол к диапазону $[0, 2\pi)$: $5.5\pi = 4\pi + 1.5\pi = 2 \cdot (2\pi) + \frac{3\pi}{2}$. Угол котерминален углу $\frac{3\pi}{2}$. Этот угол соответствует точке на отрицательной части оси OY, которая является границей между третьей и четвертой четвертями.

Ответ: Точка находится на границе III и IV четвертей.

12) $-\frac{11\pi}{6}$

Найдем эквивалентный положительный угол: $-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. Так как $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

13) 1

Угол равен 1 радиану. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Поскольку $0 < 1 < 1.57$, то есть $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой четверти.

Ответ: I четверть.

14) -3

Угол равен -3 радианам. Сравним с границами в радианах: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Угол $-3$ радиана находится между $-\pi$ и $-\frac{\pi}{2}$ (так как $-3.14 < -3 < -1.57$). Движение по часовой стрелке на угол между $90^\circ$ и $180^\circ$ приводит в третью четверть.

Ответ: III четверть.

15) 5

Угол равен 5 радианам. Сравним с границами: $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$. Поскольку $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, точка находится в четвертой четверти.

Ответ: IV четверть.