Номер 14.16, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.16. Найдите угол $\alpha$, $0^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}$, при повороте на который точка $P_0 (1;0)$ займёт то же положение, что и при повороте на угол:

1) $440^{\circ}$;

2) $-170^{\circ}$;

3) $-315^{\circ}$;

4) $1000^{\circ}$.

Для того чтобы найти угол $ \alpha $ в диапазоне $ 0^\circ \le \alpha \le 360^\circ $, при повороте на который точка $ P_0(1;0) $ займёт то же положение, что и при повороте на заданный угол $ \beta $, необходимо к углу $ \beta $ прибавить или отнять целое число полных оборотов ($ 360^\circ $). Математически это записывается как $ \alpha = \beta + k \cdot 360^\circ $, где $ k $ — целое число, которое подбирается так, чтобы $ \alpha $ оказался в заданном интервале.

1) 440°;

Заданный угол $ 440^\circ $ больше $ 360^\circ $. Чтобы найти эквивалентный угол в диапазоне от $ 0^\circ $ до $ 360^\circ $, вычтем из него один полный оборот ($ k = -1 $):

$ \alpha = 440^\circ - 1 \cdot 360^\circ = 80^\circ $

Полученный угол $ 80^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 80^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 80^\circ $

2) -170°;

Заданный угол $ -170^\circ $ является отрицательным. Чтобы найти соответствующий положительный угол в нужном диапазоне, прибавим к нему один полный оборот ($ k = 1 $):

$ \alpha = -170^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 190^\circ $

Полученный угол $ 190^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 190^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 190^\circ $

3) -315°;

Заданный угол $ -315^\circ $ является отрицательным. Чтобы найти соответствующий положительный угол в нужном диапазоне, прибавим к нему один полный оборот ($ k = 1 $):

$ \alpha = -315^\circ + 1 \cdot 360^\circ = 45^\circ $

Полученный угол $ 45^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 45^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 45^\circ $

4) 1000°.

Заданный угол $ 1000^\circ $ значительно больше $ 360^\circ $. Чтобы найти эквивалентный угол, необходимо вычесть несколько полных оборотов. Количество полных оборотов можно найти, разделив $ 1000^\circ $ на $ 360^\circ $:

$ 1000 \div 360 = 2 $ (остаток $ 280 $)

Это означает, что нужно вычесть два полных оборота ($ k = -2 $):

$ \alpha = 1000^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 1000^\circ - 720^\circ = 280^\circ $

Полученный угол $ 280^\circ $ удовлетворяет условию $ 0^\circ \le 280^\circ \le 360^\circ $.

Ответ: $ 280^\circ $