Номер 14.13, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.13. Какие координаты имеет точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $\frac{3\pi}{2}$;

2) $3\pi$;

3) $-\frac{\pi}{2}$;

4) $180^\circ$;

5) $-540^\circ$?

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Точка $P_0(1; 0)$ является начальной точкой, от которой отсчитываются углы поворота (положительные — против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке).

1) $\frac{3\pi}{2}$
Для нахождения координат точки, полученной при повороте на угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, используем тригонометрические функции.
Координата $x$ равна косинусу угла: $x = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.
Координата $y$ равна синусу угла: $y = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

2) $3\pi$
Найдем координаты для угла $\alpha = 3\pi$. Период функций синуса и косинуса равен $2\pi$. Мы можем вычесть полный оборот ($2\pi$), чтобы найти эквивалентный угол: $3\pi = 2\pi + \pi$. Таким образом, поворот на $3\pi$ эквивалентен повороту на $\pi$.
Координата $x$: $x = \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$.
Координата $y$: $y = \sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

3) $-\frac{\pi}{2}$
Найдем координаты для угла $\alpha = -\frac{\pi}{2}$. Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Этот угол соответствует той же точке на окружности, что и угол $2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Координата $x$: $x = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ (так как косинус — чётная функция).
Координата $y$: $y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$ (так как синус — нечётная функция).
Следовательно, координаты искомой точки: $(0; -1)$.
Ответ: $(0; -1)$.

4) $180^\circ$
Сначала переведем градусы в радианы, зная что $180^\circ = \pi$ радиан. Найдем координаты для угла $\alpha = \pi$.
Координата $x$: $x = \cos(180^\circ) = \cos(\pi) = -1$.
Координата $y$: $y = \sin(180^\circ) = \sin(\pi) = 0$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.

5) $-540^\circ$
Найдем эквивалентный угол, прибавив полные обороты ($360^\circ$).
$-540^\circ + 360^\circ = -180^\circ$.
Поворот на $-180^\circ$ (по часовой стрелке) приводит в ту же точку, что и поворот на $180^\circ$ (против часовой стрелки).
Можно также представить угол как $-540^\circ = -360^\circ - 180^\circ$.
Координата $x$: $x = \cos(-540^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$.
Координата $y$: $y = \sin(-540^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$.
Следовательно, координаты искомой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: $(-1; 0)$.