Номер 4, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Какова область значений функции $y = \sin x$? $y = \cos x$?

Область значений функции — это множество всех значений, которые функция $y$ может принимать при всех допустимых значениях аргумента $x$. Для нахождения области значений функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ удобно воспользоваться их определением через единичную окружность.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$. Для любого угла $x$ точка $P(x)$ на этой окружности, соответствующая данному углу, имеет координаты $(\cos x, \sin x)$.

y = sin x

Значение функции $y = \sin x$ равно ординате (координате по оси $y$) точки на единичной окружности. Поскольку радиус окружности равен 1, любая точка на ней не может находиться выше $y=1$ или ниже $y=-1$.
Максимальное значение, равное 1, синус принимает при углах $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение, равное -1, синус принимает при углах $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $y = \sin x$ является непрерывной и принимает все промежуточные значения между -1 и 1. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \sin x \le 1$.
Ответ: Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

y = cos x

Значение функции $y = \cos x$ равно абсциссе (координате по оси $x$) точки на единичной окружности. Аналогично синусу, так как радиус окружности равен 1, любая точка на ней не может находиться правее $x=1$ или левее $x=-1$.
Максимальное значение, равное 1, косинус принимает при углах $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение, равное -1, косинус принимает при углах $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Функция $y = \cos x$ также является непрерывной и принимает все промежуточные значения между -1 и 1. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \cos x \le 1$.
Ответ: Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.