Номер 15.2, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.2. Чему равно значение выражения:

1) $ \cos 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}; $

2) $ 7\mathrm{tg}^2 45^{\circ} - 3\mathrm{ctg} 45^{\circ}; $

3) $ \sin 180^{\circ} \cos 120^{\circ} \mathrm{tg} 60^{\circ}; $

4) $ \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} \mathrm{ctg} \frac{\pi}{3}; $

5) $ \cos \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{3\pi}{2} + \mathrm{ctg} \frac{3\pi}{2}; $

6) $ 6\cos 0 + 4\sin 2\pi + 4\sin^2 \frac{2\pi}{3}? $

1) cos 60° + sin 30°

Для решения этого выражения необходимо знать значения стандартных тригонометрических углов. Значение косинуса 60 градусов и синуса 30 градусов являются табличными:

$cos 60° = \frac{1}{2}$

$sin 30° = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним сложение:

$cos 60° + sin 30° = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1

2) 7tg²45° - 3ctg 45°

Найдем табличные значения тангенса и котангенса 45 градусов:

$tg 45° = 1$

$ctg 45° = 1$

Выражение $tg^2 45°$ означает $(tg 45°)^2$. Подставим значения в выражение:

$7tg^2 45° - 3ctg 45° = 7 \cdot (1)^2 - 3 \cdot 1 = 7 \cdot 1 - 3 = 7 - 3 = 4$

Ответ: 4

3) sin 180° cos 120° tg 60°

Найдем значения для каждой тригонометрической функции:

$sin 180° = 0$

Так как один из множителей равен нулю, все произведение будет равно нулю. Для полноты решения найдем и остальные значения:

$cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60° = -\frac{1}{2}$

$tg 60° = \sqrt{3}$

Теперь перемножим все значения:

$sin 180° \cdot cos 120° \cdot tg 60° = 0 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \sqrt{3} = 0$

Ответ: 0

4) sin(π/4) cos(π/4) ctg(π/3)

Найдем значения тригонометрических функций в радианах:

$sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставим найденные значения и вычислим произведение:

$sin\frac{\pi}{4} \cdot cos\frac{\pi}{4} \cdot ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{2})^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

5) cos(3π/2) - sin(3π/2) + ctg(3π/2)

Найдем значения функций для угла $\frac{3\pi}{2}$ (что соответствует 270°):

$cos\frac{3\pi}{2} = 0$

$sin\frac{3\pi}{2} = -1$

$ctg\frac{3\pi}{2} = \frac{cos\frac{3\pi}{2}}{sin\frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0$

Подставим значения в выражение:

$cos\frac{3\pi}{2} - sin\frac{3\pi}{2} + ctg\frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) + 0 = 1$

Ответ: 1

6) 6cos 0 + 4sin 2π + 4sin²(2π/3)

Найдем значения для каждой части выражения:

$cos 0 = 1$

$sin 2\pi = 0$

Для $sin^2\frac{2\pi}{3}$ сначала найдем $sin\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ равен 120°.

$sin\frac{2\pi}{3} = sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь возведем это значение в квадрат:

$sin^2\frac{2\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

Подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$6 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 6 + 0 + 3 = 9$

Ответ: 9