Номер 15.7, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.7. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\sin \alpha$;

2) $4 + \cos \alpha$;

3) $2 - \sin \alpha$;

4) $6 - 2\cos \alpha$;

5) $\sin^2\alpha$;

6) $2\cos^2\alpha - 3$.

1) $3\sin\alpha$
Основное свойство функции синус заключается в том, что ее значения всегда находятся в пределах от -1 до 1 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
Чтобы найти диапазон значений для выражения $3\sin\alpha$, умножим все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$3 \cdot (-1) \le 3\sin\alpha \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3\sin\alpha \le 3$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается при $\sin\alpha = -1$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\sin\alpha = 1$).
Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 3.

2) $4 + \cos\alpha$
Значения функции косинус, так же как и синус, ограничены промежутком [-1, 1]:
$-1 \le \cos\alpha \le 1$
Чтобы найти область значений для выражения $4 + \cos\alpha$, прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 + (-1) \le 4 + \cos\alpha \le 4 + 1$
$3 \le 4 + \cos\alpha \le 5$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 3 (когда $\cos\alpha = -1$), а наибольшее значение равно 5 (когда $\cos\alpha = 1$).
Ответ: наименьшее значение: 3, наибольшее значение: 5.

3) $2 - \sin\alpha$
Начнем с известного диапазона для $\sin\alpha$:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
Сначала умножим неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-1) \ge -\sin\alpha \ge (-1) \cdot 1$
$1 \ge -\sin\alpha \ge -1$
Что эквивалентно записи:
$-1 \le -\sin\alpha \le 1$
Теперь прибавим 2 ко всем частям:
$2 - 1 \le 2 - \sin\alpha \le 2 + 1$
$1 \le 2 - \sin\alpha \le 3$
Наименьшее значение выражения равно 1 (когда $\sin\alpha = 1$), а наибольшее значение равно 3 (когда $\sin\alpha = -1$).
Ответ: наименьшее значение: 1, наибольшее значение: 3.

4) $6 - 2\cos\alpha$
Используем свойство функции косинус:
$-1 \le \cos\alpha \le 1$
Умножим неравенство на 2:
$-2 \le 2\cos\alpha \le 2$
Теперь умножим на -1, меняя знаки неравенства:
$2 \ge -2\cos\alpha \ge -2$
Перепишем в привычном порядке:
$-2 \le -2\cos\alpha \le 2$
Прибавим 6 ко всем частям неравенства:
$6 - 2 \le 6 - 2\cos\alpha \le 6 + 2$
$4 \le 6 - 2\cos\alpha \le 8$
Наименьшее значение выражения равно 4 (при $\cos\alpha = 1$), наибольшее — 8 (при $\cos\alpha = -1$).
Ответ: наименьшее значение: 4, наибольшее значение: 8.

5) $\sin^2\alpha$
Мы знаем, что $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
При возведении в квадрат любого числа из этого промежутка результат будет неотрицательным. Наименьшее значение будет при $\sin\alpha = 0$, тогда $\sin^2\alpha = 0^2 = 0$.
Наибольшее значение будет достигнуто, когда модуль синуса максимален, то есть при $\sin\alpha = 1$ или $\sin\alpha = -1$. В обоих случаях $\sin^2\alpha = (\pm 1)^2 = 1$.
Таким образом, значения выражения $\sin^2\alpha$ находятся в следующем диапазоне:
$0 \le \sin^2\alpha \le 1$
Наименьшее значение равно 0, наибольшее равно 1.
Ответ: наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 1.

6) $2\cos^2\alpha - 3$
Аналогично предыдущему пункту, сначала определим диапазон для $\cos^2\alpha$. Так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то:
$0 \le \cos^2\alpha \le 1$
Теперь умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2\cos^2\alpha \le 2 \cdot 1$
$0 \le 2\cos^2\alpha \le 2$
И, наконец, вычтем 3 из всех частей:
$0 - 3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le 2 - 3$
$-3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le -1$
Наименьшее значение выражения равно -3 (когда $\cos^2\alpha = 0$, т.е. $\cos\alpha=0$), а наибольшее равно -1 (когда $\cos^2\alpha = 1$, т.е. $\cos\alpha=\pm 1$).
Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: -1.