Страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.5. Возможно ли равенство:

1) $ \sin \alpha = - \frac{\sqrt{15}}{4}; $

2) $ \cos \alpha = \frac{\pi}{3}; $

3) $ \cos \alpha = \frac{\pi}{4}; $

4) $ \sin \alpha = \frac{9}{8}; $

5) $ \operatorname{tg} \alpha = -4; $

6) $ \operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{26}? $

1) Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $|\sin \alpha| \le 1$. Проверим, выполняется ли это условие для заданного равенства: $|\sin \alpha| = |-\frac{\sqrt{15}}{4}| = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить квадраты этих чисел, так как оба они положительные. $(\frac{\sqrt{15}}{4})^2 = \frac{15}{16}$. Поскольку $\frac{15}{16} < 1$, то и $\frac{\sqrt{15}}{4} < 1$. Условие $|\sin \alpha| \le 1$ выполняется, следовательно, данное равенство возможно.
Ответ: да.

2) Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $|\cos \alpha| \le 1$. Проверим это условие: $|\cos \alpha| = |\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} \approx 1.047$. Так как $1.047 > 1$, то $|\cos \alpha| > 1$. Условие не выполняется, следовательно, данное равенство невозможно.
Ответ: нет.

3) Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $|\cos \alpha| \le 1$. Проверим это условие для $\cos \alpha = \frac{\pi}{4}$: $|\cos \alpha| = |\frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785$. Так как $0.785 < 1$, то $|\cos \alpha| < 1$. Условие выполняется, следовательно, данное равенство возможно.
Ответ: да.

4) Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $|\sin \alpha| \le 1$. Проверим это условие для $\sin \alpha = \frac{9}{8}$: $|\sin \alpha| = |\frac{9}{8}| = \frac{9}{8} = 1.125$. Так как $1.125 > 1$, то $|\sin \alpha| > 1$. Условие не выполняется, следовательно, данное равенство невозможно.
Ответ: нет.

5) Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Число -4 является действительным числом и принадлежит этой области значений. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.

6) Область значений функции котангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Число $\sqrt{26}$ является действительным числом (приблизительно 5.099) и принадлежит этой области значений. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.

15.6. Может ли быть равным числу $\frac{\sqrt{5}}{2}$ значение:

1) $\sin \alpha$;

2) $\cos \alpha$;

3) $\operatorname{tg} \alpha$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha$?

Чтобы ответить на вопрос, может ли значение тригонометрической функции быть равным числу $\frac{\sqrt{5}}{2}$, необходимо сравнить это число с областью значений каждой из функций.

Сначала оценим значение числа $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Мы знаем, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{5} < 3$.

Разделив неравенство на 2, получим: $\frac{2}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2} < \frac{3}{2}$, то есть $1 < \frac{\sqrt{5}}{2} < 1.5$. Таким образом, число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ больше 1.

1) sin α

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Поскольку мы установили, что $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, это значение не входит в область значений функции синус.

Ответ: не может.

2) cos α

Область значений функции косинус, так же как и у синуса, — это отрезок $[-1, 1]$. Для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$.

Так как $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, это значение не входит в область значений функции косинус.

Ответ: не может.

3) tg α

Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Это означает, что тангенс может принимать любое действительное значение.

Число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ является действительным числом, поэтому существует такой угол $\alpha$, для которого $\tg \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: может.

4) ctg α

Область значений функции котангенс, как и у тангенса, — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$.

Поскольку $\frac{\sqrt{5}}{2}$ — это действительное число, оно входит в область значений функции котангенс.

Ответ: может.

15.7. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\sin \alpha$;

2) $4 + \cos \alpha$;

3) $2 - \sin \alpha$;

4) $6 - 2\cos \alpha$;

5) $\sin^2\alpha$;

6) $2\cos^2\alpha - 3$.

1) $3\sin\alpha$
Основное свойство функции синус заключается в том, что ее значения всегда находятся в пределах от -1 до 1 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
Чтобы найти диапазон значений для выражения $3\sin\alpha$, умножим все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$3 \cdot (-1) \le 3\sin\alpha \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3\sin\alpha \le 3$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается при $\sin\alpha = -1$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\sin\alpha = 1$).
Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 3.

2) $4 + \cos\alpha$
Значения функции косинус, так же как и синус, ограничены промежутком [-1, 1]:
$-1 \le \cos\alpha \le 1$
Чтобы найти область значений для выражения $4 + \cos\alpha$, прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 + (-1) \le 4 + \cos\alpha \le 4 + 1$
$3 \le 4 + \cos\alpha \le 5$
Следовательно, наименьшее значение выражения равно 3 (когда $\cos\alpha = -1$), а наибольшее значение равно 5 (когда $\cos\alpha = 1$).
Ответ: наименьшее значение: 3, наибольшее значение: 5.

3) $2 - \sin\alpha$
Начнем с известного диапазона для $\sin\alpha$:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
Сначала умножим неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-1) \ge -\sin\alpha \ge (-1) \cdot 1$
$1 \ge -\sin\alpha \ge -1$
Что эквивалентно записи:
$-1 \le -\sin\alpha \le 1$
Теперь прибавим 2 ко всем частям:
$2 - 1 \le 2 - \sin\alpha \le 2 + 1$
$1 \le 2 - \sin\alpha \le 3$
Наименьшее значение выражения равно 1 (когда $\sin\alpha = 1$), а наибольшее значение равно 3 (когда $\sin\alpha = -1$).
Ответ: наименьшее значение: 1, наибольшее значение: 3.

4) $6 - 2\cos\alpha$
Используем свойство функции косинус:
$-1 \le \cos\alpha \le 1$
Умножим неравенство на 2:
$-2 \le 2\cos\alpha \le 2$
Теперь умножим на -1, меняя знаки неравенства:
$2 \ge -2\cos\alpha \ge -2$
Перепишем в привычном порядке:
$-2 \le -2\cos\alpha \le 2$
Прибавим 6 ко всем частям неравенства:
$6 - 2 \le 6 - 2\cos\alpha \le 6 + 2$
$4 \le 6 - 2\cos\alpha \le 8$
Наименьшее значение выражения равно 4 (при $\cos\alpha = 1$), наибольшее — 8 (при $\cos\alpha = -1$).
Ответ: наименьшее значение: 4, наибольшее значение: 8.

5) $\sin^2\alpha$
Мы знаем, что $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
При возведении в квадрат любого числа из этого промежутка результат будет неотрицательным. Наименьшее значение будет при $\sin\alpha = 0$, тогда $\sin^2\alpha = 0^2 = 0$.
Наибольшее значение будет достигнуто, когда модуль синуса максимален, то есть при $\sin\alpha = 1$ или $\sin\alpha = -1$. В обоих случаях $\sin^2\alpha = (\pm 1)^2 = 1$.
Таким образом, значения выражения $\sin^2\alpha$ находятся в следующем диапазоне:
$0 \le \sin^2\alpha \le 1$
Наименьшее значение равно 0, наибольшее равно 1.
Ответ: наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 1.

6) $2\cos^2\alpha - 3$
Аналогично предыдущему пункту, сначала определим диапазон для $\cos^2\alpha$. Так как $-1 \le \cos\alpha \le 1$, то:
$0 \le \cos^2\alpha \le 1$
Теперь умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2\cos^2\alpha \le 2 \cdot 1$
$0 \le 2\cos^2\alpha \le 2$
И, наконец, вычтем 3 из всех частей:
$0 - 3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le 2 - 3$
$-3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le -1$
Наименьшее значение выражения равно -3 (когда $\cos^2\alpha = 0$, т.е. $\cos\alpha=0$), а наибольшее равно -1 (когда $\cos^2\alpha = 1$, т.е. $\cos\alpha=\pm 1$).
Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: -1.

15.8. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ -5\cos\alpha $;

2) $ \cos\alpha - 2 $;

3) $ 5 + \sin^2\alpha $;

4) $ 7 - 3\sin\alpha $.

1) $-5\cos\alpha$;

Область значений функции косинус находится в промежутке от -1 до 1, что можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на -5. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-5) \ge -5\cos\alpha \ge 1 \cdot (-5)$
$5 \ge -5\cos\alpha \ge -5$

Записав неравенство в стандартном порядке от меньшего к большему, получаем:
$-5 \le -5\cos\alpha \le 5$

Ответ: наименьшее значение: -5, наибольшее значение: 5.

2) $\cos\alpha - 2$;

Используем известное неравенство для косинуса: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Вычтем 2 из каждой части неравенства:
$-1 - 2 \le \cos\alpha - 2 \le 1 - 2$
$-3 \le \cos\alpha - 2 \le -1$

Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: -1.

3) $5 + \sin^2\alpha$;

Область значений функции синус: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.

Так как квадрат любого числа из промежутка $[-1, 1]$ находится в промежутке $[0, 1]$, то область значений для $\sin^2\alpha$ будет:
$0 \le \sin^2\alpha \le 1$

Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства:
$5 + 0 \le 5 + \sin^2\alpha \le 5 + 1$
$5 \le 5 + \sin^2\alpha \le 6$

Ответ: наименьшее значение: 5, наибольшее значение: 6.

4) $7 - 3\sin\alpha$.

Начнем с области значений синуса: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.

Умножим неравенство на -3, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-1) \cdot (-3) \ge -3\sin\alpha \ge 1 \cdot (-3)$
$3 \ge -3\sin\alpha \ge -3$

Перепишем это в стандартном виде: $-3 \le -3\sin\alpha \le 3$.

Наконец, прибавим 7 ко всем частям:
$7 - 3 \le 7 - 3\sin\alpha \le 7 + 3$
$4 \le 7 - 3\sin\alpha \le 10$

Ответ: наименьшее значение: 4, наибольшее значение: 10.

15.9. Укажите какие-нибудь три значения $x$, при которых выполняется равенство:

1) $\sin x = 1$;

2) $\sin x = -1$.

1) Для решения уравнения $\sin x = 1$ воспользуемся общей формулой для частного случая решения тригонометрических уравнений. Все решения этого уравнения можно описать формулой:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
Чтобы найти три конкретных значения $x$ , мы можем подставить в эту формулу три разных целых значения для $k$ .
1. Возьмем $k = 0$ :
$x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$
2. Возьмем $k = 1$ :
$x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$
3. Возьмем $k = -1$ :
$x_3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$
Ответ: например, $x_1 = \frac{\pi}{2}$, $x_2 = \frac{5\pi}{2}$, $x_3 = -\frac{3\pi}{2}$.

2) Для решения уравнения $\sin x = -1$ также воспользуемся общей формулой для частного случая. Все решения этого уравнения описываются формулой:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
Чтобы найти три конкретных значения $x$ , подставим в формулу три разных целых значения для $k$ .
1. Возьмем $k = 0$ :
$x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{2}$
2. Возьмем $k = 1$ :
$x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
3. Возьмем $k = 2$ :
$x_3 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{-\pi + 8\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$
Ответ: например, $x_1 = -\frac{\pi}{2}$, $x_2 = \frac{3\pi}{2}$, $x_3 = \frac{7\pi}{2}$.

15.10. Укажите какие-нибудь три значения $x$, при которых выполняется равенство:

1) $\cos x = 1$;

2) $\cos x = -1$.

1) cos x = 1;

Данное равенство является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Косинус угла равен единице, если этот угол соответствует точке на единичной окружности с абсциссой 1. Это происходит в точках, получаемых из начальной точки (1, 0) поворотом на угол, кратный $ 2\pi $ радиан.

Общее решение уравнения $ \cos x = 1 $ записывается формулой: $ x = 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для того чтобы найти три каких-нибудь значения $ x $, нужно подставить в общую формулу три различных целых значения для $ k $.

• При $ k = 0 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot 0 = 0 $.
• При $ k = 1 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi $.
• При $ k = 2 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi $.

Также можно взять отрицательное значение для $ k $, например:

• При $ k = -1 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi $.

Выберем три из найденных значений, например, 0, $ 2\pi $ и $ -2\pi $.

Ответ: $ 0, 2\pi, -2\pi $.

2) cos x = -1;

Данное равенство также является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Косинус угла равен минус единице, если этот угол соответствует точке на единичной окружности с абсциссой -1. Это происходит в точках, получаемых поворотом на угол $ \pi $ и далее на полные обороты, то есть на $ 2\pi k $.

Общее решение уравнения $ \cos x = -1 $ записывается формулой: $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для того чтобы найти три каких-нибудь значения $ x $, подставим в общую формулу три различных целых значения для $ k $.

• При $ k = 0 $, получаем: $ x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi $.
• При $ k = 1 $, получаем: $ x = \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi $.
• При $ k = -1 $, получаем: $ x = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi $.

Выберем эти три значения.

Ответ: $ \pi, 3\pi, -\pi $.

15.11. Найдите все значения $x$, при которых выполняется равенство:

1) $\sin x = 1$;

2) $\sin x = -1$.

1) Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $\sin x = 1$ имеет решения в точках, где ордината на единичной окружности равна 1. Это происходит в единственной точке верхней полуокружности, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$. Поскольку синус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно найти, прибавляя к частному решению $\frac{\pi}{2}$ целое число периодов. Таким образом, общее решение имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Аналогично предыдущему пункту, решим уравнение $\sin x = -1$. Это также частный случай. На единичной окружности ордината равна -1 в единственной точке нижней полуокружности. Эта точка соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Снова, учитывая периодичность функции синуса, общее решение получается добавлением к частному решению целого числа периодов $2\pi$. Формула для всех решений будет следующей:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

15.12. Найти все значения x, при которых выполняется равенство:

1) $ \cos x = 1 $;

2) $ \cos x = -1 $.

1) Требуется найти все значения $x$, при которых выполняется равенство $cos x = 1$.
Это является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Для его решения можно использовать единичную тригонометрическую окружность. Косинус угла соответствует абсциссе (координате по оси X) точки на этой окружности.
Значение абсциссы, равное 1, соответствует точке с координатами (1, 0). Эта точка соответствует углу в 0 радиан.
Поскольку функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, то все решения будут повторяться через каждый полный оборот. Следовательно, чтобы найти все значения $x$, нужно к начальному значению (0) прибавить целое число периодов.
Таким образом, общее решение уравнения записывается в виде формулы:
$x = 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Упрощенно это выглядит так:
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Требуется найти все значения $x$, при которых выполняется равенство $cos x = -1$.
Аналогично первому пункту, решим это уравнение с помощью единичной окружности. Нам нужно найти углы, для которых абсцисса соответствующей точки на окружности равна -1.
Этому условию удовлетворяет точка с координатами (-1, 0). Данная точка соответствует углу в $\pi$ радиан.
Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, все решения можно получить, прибавляя к углу $\pi$ целое число полных оборотов.
Общее решение уравнения записывается в виде формулы:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

15.13. Существует ли такое значение $x \in \mathbb{R}$, при котором обе функции $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ не определены?

15.13.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать условия, при которых функции $y = \tg x$ и $y = \ctg x$ не определены.

1. Функция тангенса определяется формулой $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Она не определена в тех точках, где знаменатель дроби равен нулю. Таким образом, область определения тангенса исключает значения $x$, для которых $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2. Функция котангенса определяется формулой $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Она не определена в тех точках, где ее знаменатель равен нулю. Таким образом, область определения котангенса исключает значения $x$, для которых $\sin x = 0$. Это происходит при $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Вопрос заключается в том, может ли существовать такое значение $x$, при котором обе функции не определены одновременно. Это было бы возможно только в том случае, если бы для одного и того же значения $x$ одновременно выполнялись два условия: $\cos x = 0$ и $\sin x = 0$.

Однако, согласно основному тригонометрическому тождеству, для любого действительного числа $x$ выполняется равенство: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ Если бы существовало такое значение $x$, при котором $\sin x = 0$ и $\cos x = 0$, то подставив эти значения в тождество, мы бы получили: $$0^2 + 0^2 = 1$$ $$0 = 1$$ Это равенство является ложным. Полученное противоречие означает, что не существует такого значения $x$, при котором синус и косинус одновременно равны нулю.

Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором функции $y = \tg x$ и $y = \ctg x$ не определены одновременно.

Ответ: не существует.

15.14. При каких значениях a возможно равенство:

1) $cos x = a + 3;$
2) $sin x = a^2 + 1;$
3) $cos x = a^2 - 1;$
4) $sin x = a^2 - a - 1;$
5) $cos x = a^2 - 5a + 5;$
6) $tg x = \frac{a+2}{a-2}?$

1) Дано равенство $cos x = a + 3$.
Значения функции косинус принадлежат отрезку $[-1; 1]$, поэтому равенство возможно, если выполняется двойное неравенство:
$-1 \le a + 3 \le 1$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le a \le 1 - 3$
$-4 \le a \le -2$
Таким образом, $a$ должно принадлежать отрезку $[-4; -2]$.
Ответ: $a \in [-4; -2]$.

2) Дано равенство $sin x = a^2 + 1$.
Значения функции синус принадлежат отрезку $[-1; 1]$, поэтому должно выполняться неравенство:
$-1 \le a^2 + 1 \le 1$
Рассмотрим выражение $a^2 + 1$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $a^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, двойное неравенство может выполняться только в одном случае, когда обе его части равны 1:
$a^2 + 1 = 1$
$a^2 = 0$
$a = 0$
При $a=0$ получаем $sin x = 1$, что является возможным равенством.
Ответ: $a = 0$.

3) Дано равенство $cos x = a^2 - 1$.
Поскольку $-1 \le cos x \le 1$, необходимо, чтобы выполнялось условие:
$-1 \le a^2 - 1 \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le a^2 \le 1 + 1$
$0 \le a^2 \le 2$
Неравенство $a^2 \ge 0$ верно для любого $a$. Остается решить неравенство $a^2 \le 2$.
Это эквивалентно $|a| \le \sqrt{2}$, то есть $-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$.
Ответ: $a \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

4) Дано равенство $sin x = a^2 - a - 1$.
Значения синуса находятся в пределах $[-1; 1]$, поэтому должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le a^2 - a - 1 \le 1$
Это равносильно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} a^2 - a - 1 \ge -1 \\ a^2 - a - 1 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$a^2 - a \ge 0$
$a(a-1) \ge 0$
Решением является $a \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$a^2 - a - 2 \le 0$
Найдем корни уравнения $a^2 - a - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = -1$ и $a_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $a \in [-1; 2]$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$ и $[-1; 2]$.
Пересечением является объединение отрезков $[-1; 0]$ и $[1; 2]$.
Ответ: $a \in [-1; 0] \cup [1; 2]$.

5) Дано равенство $cos x = a^2 - 5a + 5$.
Значения косинуса находятся в пределах $[-1; 1]$, поэтому должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le a^2 - 5a + 5 \le 1$
Это равносильно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} a^2 - 5a + 5 \ge -1 \\ a^2 - 5a + 5 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$a^2 - 5a + 6 \ge 0$
Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ равны $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$. Решением неравенства будет $a \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$a^2 - 5a + 4 \le 0$
Корни уравнения $a^2 - 5a + 4 = 0$ равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$. Решением неравенства будет $a \in [1; 4]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; 2] \cup [3; +\infty)) \cap [1; 4]$.
Пересечением является объединение отрезков $[1; 2]$ и $[3; 4]$.
Ответ: $a \in [1; 2] \cup [3; 4]$.

6) Дано равенство $tg x = \frac{a+2}{a-2}$.
Функция тангенс может принимать любые действительные значения, то есть $tg x \in (-\infty; +\infty)$.
Поэтому равенство возможно при любых значениях $a$, при которых определена правая часть, то есть дробь $\frac{a+2}{a-2}$.
Единственное ограничение — знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$a - 2 \neq 0$
$a \neq 2$
Следовательно, равенство возможно при всех действительных значениях $a$, кроме $a=2$.
Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

15.15. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = a - 2;$

2) $\cos x = a^2 + 2;$

3) $\cos x = a^2 - 3;$

4) $\sin x = 2a - a^2 - 2?$

Основное свойство функций синуса и косинуса заключается в том, что их область значений — это отрезок $[-1; 1]$. То есть, для любого угла $x$ выполняются неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$. Чтобы предложенные равенства были возможны, необходимо, чтобы правая часть каждого уравнения принадлежала этому отрезку.

1) $\sin x = a - 2$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда выполняется двойное неравенство:

$-1 \le a - 2 \le 1$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы найти значения $a$:

$-1 + 2 \le a - 2 + 2 \le 1 + 2$

$1 \le a \le 3$

Таким образом, равенство возможно, если $a$ принадлежит отрезку $[1; 3]$.

Ответ: $a \in [1; 3]$.

2) $\cos x = a^2 + 2$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 + 2 \le 1$

Рассмотрим правую часть этого двойного неравенства:

$a^2 + 2 \le 1$

$a^2 \le 1 - 2$

$a^2 \le -1$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $a^2 \ge 0$). Следовательно, неравенство $a^2 \le -1$ не имеет решений в действительных числах. Это означает, что исходное равенство невозможно ни при каких значениях $a$.

Ответ: решений нет.

3) $\cos x = a^2 - 3$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-1 + 3 \le a^2 - 3 + 3 \le 1 + 3$

$2 \le a^2 \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 \ge 2 \\ a^2 \le 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство $a^2 \ge 2$. Его решения: $a \le -\sqrt{2}$ или $a \ge \sqrt{2}$. В виде объединения интервалов: $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство $a^2 \le 4$. Его решения: $-2 \le a \le 2$. В виде отрезка: $a \in [-2; 2]$.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств решений. Это будут значения $a$, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям: $a \in [-2; -\sqrt{2}]$ и $a \in [\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

4) $\sin x = 2a - a^2 - 2$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$

Преобразуем выражение в правой части, выделив полный квадрат:

$2a - a^2 - 2 = -(a^2 - 2a + 2) = -( (a^2 - 2a + 1) + 1 ) = -( (a-1)^2 + 1 ) = -(a-1)^2 - 1$

Теперь неравенство имеет вид:

$-1 \le -(a-1)^2 - 1 \le 1$

Рассмотрим выражение $-(a-1)^2 - 1$. Так как $(a-1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $-(a-1)^2 \le 0$. Следовательно, $-(a-1)^2 - 1 \le -1$.

Это означает, что значение выражения $2a - a^2 - 2$ всегда меньше или равно $-1$.

Чтобы двойное неравенство $-1 \le -(a-1)^2 - 1 \le 1$ выполнялось, выражение должно быть одновременно $\ge -1$ и $\le -1$. Это возможно только в одном случае — когда оно равно $-1$.

$-(a-1)^2 - 1 = -1$

$-(a-1)^2 = 0$

$(a-1)^2 = 0$

$a - 1 = 0$

$a = 1$

При $a=1$ правая часть исходного уравнения равна $-1$, и равенство $\sin x = -1$ возможно. Таким образом, существует единственное значение $a$, при котором равенство возможно.

Ответ: $a = 1$.

15.16. Сравните значения выражений $2\sin\alpha$ и $\sin^2\alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Чтобы сравнить значения выражений $2\sin\alpha$ и $\sin^2\alpha$, составим их разность и определим ее знак.

Разность выражений: $2\sin\alpha - \sin^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки:

$2\sin\alpha - \sin^2\alpha = \sin\alpha(2 - \sin\alpha)$.

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти.

Для любого угла из этого интервала значение его синуса будет находиться в пределах $0 < \sin\alpha < 1$.

Теперь проанализируем знак каждого из множителей в выражении $\sin\alpha(2 - \sin\alpha)$:

1. Первый множитель $\sin\alpha$. Так как $0 < \sin\alpha < 1$, этот множитель положителен.

2. Второй множитель $(2 - \sin\alpha)$. Поскольку $0 < \sin\alpha < 1$, то $2 - \sin\alpha$ будет больше, чем $2-1=1$, и меньше, чем $2-0=2$. То есть, $1 < 2 - \sin\alpha < 2$. Следовательно, этот множитель также положителен.

Произведение двух положительных множителей всегда является положительным числом. Значит, $\sin\alpha(2 - \sin\alpha) > 0$.

Так как разность $2\sin\alpha - \sin^2\alpha$ положительна, это означает, что уменьшаемое ($2\sin\alpha$) больше вычитаемого ($\sin^2\alpha$).

Следовательно, $2\sin\alpha > \sin^2\alpha$.

Ответ: $2\sin\alpha > \sin^2\alpha$.

15.17. Сравните:

1) $\cos 10^\circ$ и $\cos 10^\circ \cos 20^\circ$;

2) $\sin 40^\circ$ и $\sin^2 40^\circ$.

1) Для того чтобы сравнить $\cos 10^\circ$ и $\cos 10^\circ \cos 20^\circ$, рассмотрим их разность или воспользуемся тем, что один из множителей является общим.
Угол $10^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$), поэтому его косинус является положительным числом: $\cos 10^\circ > 0$.
Поскольку $\cos 10^\circ > 0$, мы можем сравнить два выражения, разделив их на этот общий множитель. Знак неравенства при этом не изменится.
Таким образом, задача сводится к сравнению $1$ и $\cos 20^\circ$.
Угол $20^\circ$ также находится в первой четверти. Для любого угла $\alpha$ из интервала $(0^\circ, 90^\circ)$ значение его косинуса находится в интервале $(0, 1)$. То есть, $0 < \cos 20^\circ < 1$.
Следовательно, $1 > \cos 20^\circ$.
Теперь, умножив обе части этого неравенства на положительное число $\cos 10^\circ$, мы получим исходные выражения:
$1 \cdot \cos 10^\circ > \cos 20^\circ \cdot \cos 10^\circ$
$\cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ$
Ответ: $\cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ$.

2) Нам нужно сравнить $\sin 40^\circ$ и $\sin^2 40^\circ$.
Пусть $x = \sin 40^\circ$. Тогда второе выражение равно $x^2$. Наша задача — сравнить $x$ и $x^2$.
Угол $40^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$). На этом интервале значения синуса положительны и строго меньше единицы (поскольку $\sin 90^\circ = 1$, а синус возрастает на этом промежутке).
Таким образом, для $x = \sin 40^\circ$ справедливо двойное неравенство: $0 < x < 1$.
Рассмотрим любое число $x$, удовлетворяющее условию $0 < x < 1$. Умножим обе части неравенства $x < 1$ на положительное число $x$. Знак неравенства при этом не изменится:
$x \cdot x < 1 \cdot x$
$x^2 < x$
Поскольку $0 < \sin 40^\circ < 1$, мы можем применить этот результат:
$(\sin 40^\circ)^2 < \sin 40^\circ$, или $\sin^2 40^\circ < \sin 40^\circ$.
Ответ: $\sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ$.

15.18. Найдите область значений выражения:

1) $\frac{1}{2 + \sin x}$;

2) $\frac{1}{1 - \cos x}$.

1) Чтобы найти область значений выражения $\frac{1}{2 + \sin x}$, сначала найдем область значений знаменателя $2 + \sin x$.
Известно, что область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то есть:
$-1 \le \sin x \le 1$
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1$
$1 \le 2 + \sin x \le 3$
Таким образом, знаменатель принимает значения от 1 до 3 включительно. Так как знаменатель всегда положителен, мы можем найти область значений дроби.
Функция $y = \frac{1}{t}$ является убывающей для $t > 0$. Это означает, что наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение дроби, а наибольшему значению знаменателя - наименьшее значение дроби.
Наибольшее значение выражения: $\frac{1}{1} = 1$.
Наименьшее значение выражения: $\frac{1}{3}$.
Следовательно, область значений исходного выражения - это отрезок $[\frac{1}{3}, 1]$.
Ответ: $[\frac{1}{3}; 1]$.

2) Чтобы найти область значений выражения $\frac{1}{1 - \cos x}$, найдем область значений знаменателя $1 - \cos x$.
Область значений функции косинуса - это отрезок $[-1, 1]$:
$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-1 \le -\cos x \le 1$
Прибавим ко всем частям неравенства 1:
$1 - 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1$
$0 \le 1 - \cos x \le 2$
Выражение в знаменателе дроби не может быть равно нулю, поэтому $1 - \cos x \ne 0$. Это условие выполняется, когда $\cos x \ne 1$. Таким образом, знаменатель $1 - \cos x$ принимает значения в полуинтервале $(0, 2]$.
Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{t}$, где $t = 1 - \cos x$ и $t \in (0, 2]$.
Поскольку функция $y = \frac{1}{t}$ убывает на промежутке $(0, +\infty)$, ее наименьшее значение на полуинтервале $(0, 2]$ достигается при наибольшем значении $t$, то есть при $t=2$:
$y_{min} = \frac{1}{2}$.
Когда значение знаменателя $t$ стремится к нулю справа ($t \to 0+$), значение дроби $y = \frac{1}{t}$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).
Следовательно, область значений исходного выражения - это луч $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
Ответ: $[\frac{1}{2}; +\infty)$.