Номер 15.17, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.17. Сравните:

1) $\cos 10^\circ$ и $\cos 10^\circ \cos 20^\circ$;

2) $\sin 40^\circ$ и $\sin^2 40^\circ$.

1) Для того чтобы сравнить $\cos 10^\circ$ и $\cos 10^\circ \cos 20^\circ$, рассмотрим их разность или воспользуемся тем, что один из множителей является общим.
Угол $10^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$), поэтому его косинус является положительным числом: $\cos 10^\circ > 0$.
Поскольку $\cos 10^\circ > 0$, мы можем сравнить два выражения, разделив их на этот общий множитель. Знак неравенства при этом не изменится.
Таким образом, задача сводится к сравнению $1$ и $\cos 20^\circ$.
Угол $20^\circ$ также находится в первой четверти. Для любого угла $\alpha$ из интервала $(0^\circ, 90^\circ)$ значение его косинуса находится в интервале $(0, 1)$. То есть, $0 < \cos 20^\circ < 1$.
Следовательно, $1 > \cos 20^\circ$.
Теперь, умножив обе части этого неравенства на положительное число $\cos 10^\circ$, мы получим исходные выражения:
$1 \cdot \cos 10^\circ > \cos 20^\circ \cdot \cos 10^\circ$
$\cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ$
Ответ: $\cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ$.

2) Нам нужно сравнить $\sin 40^\circ$ и $\sin^2 40^\circ$.
Пусть $x = \sin 40^\circ$. Тогда второе выражение равно $x^2$. Наша задача — сравнить $x$ и $x^2$.
Угол $40^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$). На этом интервале значения синуса положительны и строго меньше единицы (поскольку $\sin 90^\circ = 1$, а синус возрастает на этом промежутке).
Таким образом, для $x = \sin 40^\circ$ справедливо двойное неравенство: $0 < x < 1$.
Рассмотрим любое число $x$, удовлетворяющее условию $0 < x < 1$. Умножим обе части неравенства $x < 1$ на положительное число $x$. Знак неравенства при этом не изменится:
$x \cdot x < 1 \cdot x$
$x^2 < x$
Поскольку $0 < \sin 40^\circ < 1$, мы можем применить этот результат:
$(\sin 40^\circ)^2 < \sin 40^\circ$, или $\sin^2 40^\circ < \sin 40^\circ$.
Ответ: $\sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ$.