Номер 15.14, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.14. При каких значениях a возможно равенство:

1) $cos x = a + 3;$
2) $sin x = a^2 + 1;$
3) $cos x = a^2 - 1;$
4) $sin x = a^2 - a - 1;$
5) $cos x = a^2 - 5a + 5;$
6) $tg x = \frac{a+2}{a-2}?$

1) Дано равенство $cos x = a + 3$.
Значения функции косинус принадлежат отрезку $[-1; 1]$, поэтому равенство возможно, если выполняется двойное неравенство:
$-1 \le a + 3 \le 1$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le a \le 1 - 3$
$-4 \le a \le -2$
Таким образом, $a$ должно принадлежать отрезку $[-4; -2]$.
Ответ: $a \in [-4; -2]$.

2) Дано равенство $sin x = a^2 + 1$.
Значения функции синус принадлежат отрезку $[-1; 1]$, поэтому должно выполняться неравенство:
$-1 \le a^2 + 1 \le 1$
Рассмотрим выражение $a^2 + 1$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $a^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, двойное неравенство может выполняться только в одном случае, когда обе его части равны 1:
$a^2 + 1 = 1$
$a^2 = 0$
$a = 0$
При $a=0$ получаем $sin x = 1$, что является возможным равенством.
Ответ: $a = 0$.

3) Дано равенство $cos x = a^2 - 1$.
Поскольку $-1 \le cos x \le 1$, необходимо, чтобы выполнялось условие:
$-1 \le a^2 - 1 \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le a^2 \le 1 + 1$
$0 \le a^2 \le 2$
Неравенство $a^2 \ge 0$ верно для любого $a$. Остается решить неравенство $a^2 \le 2$.
Это эквивалентно $|a| \le \sqrt{2}$, то есть $-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$.
Ответ: $a \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

4) Дано равенство $sin x = a^2 - a - 1$.
Значения синуса находятся в пределах $[-1; 1]$, поэтому должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le a^2 - a - 1 \le 1$
Это равносильно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} a^2 - a - 1 \ge -1 \\ a^2 - a - 1 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$a^2 - a \ge 0$
$a(a-1) \ge 0$
Решением является $a \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$a^2 - a - 2 \le 0$
Найдем корни уравнения $a^2 - a - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = -1$ и $a_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $a \in [-1; 2]$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$ и $[-1; 2]$.
Пересечением является объединение отрезков $[-1; 0]$ и $[1; 2]$.
Ответ: $a \in [-1; 0] \cup [1; 2]$.

5) Дано равенство $cos x = a^2 - 5a + 5$.
Значения косинуса находятся в пределах $[-1; 1]$, поэтому должно выполняться двойное неравенство:
$-1 \le a^2 - 5a + 5 \le 1$
Это равносильно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} a^2 - 5a + 5 \ge -1 \\ a^2 - 5a + 5 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$a^2 - 5a + 6 \ge 0$
Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ равны $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$. Решением неравенства будет $a \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$a^2 - 5a + 4 \le 0$
Корни уравнения $a^2 - 5a + 4 = 0$ равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$. Решением неравенства будет $a \in [1; 4]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; 2] \cup [3; +\infty)) \cap [1; 4]$.
Пересечением является объединение отрезков $[1; 2]$ и $[3; 4]$.
Ответ: $a \in [1; 2] \cup [3; 4]$.

6) Дано равенство $tg x = \frac{a+2}{a-2}$.
Функция тангенс может принимать любые действительные значения, то есть $tg x \in (-\infty; +\infty)$.
Поэтому равенство возможно при любых значениях $a$, при которых определена правая часть, то есть дробь $\frac{a+2}{a-2}$.
Единственное ограничение — знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$a - 2 \neq 0$
$a \neq 2$
Следовательно, равенство возможно при всех действительных значениях $a$, кроме $a=2$.
Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.