Номер 15.23, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.23. Чётной или нечётной является функция:

1) $f(x) = \sqrt[5]{x^3}$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$;

3) $f(x) = 2x^7 + 4x^5 - 3x$;

4) $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$?

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция четная).
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция нечетная).

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

1) $f(x) = \sqrt[5]{x^3}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной (пятой) степени определен для любого действительного числа. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[5]{(-x)^3} = \sqrt[5]{-x^3} = -\sqrt[5]{x^3} = -f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной (третьей) степени определен для любого действительного числа. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3) $f(x) = 2x^7 + 4x^5 - 3x$

Данная функция является многочленом, поэтому ее область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x)^7 + 4(-x)^5 - 3(-x) = 2(-x^7) + 4(-x^5) + 3x = -2x^7 - 4x^5 + 3x$

Вынесем знак «минус» за скобки:

$f(-x) = -(2x^7 + 4x^5 - 3x) = -f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. (Также можно заметить, что все степени переменной $x$ нечетные: 7, 5, 1, а сумма нечетных функций является нечетной функцией).

Ответ: нечетная.

4) $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как подкоренное выражение $|x| \ge 0$ при любом действительном значении $x$, а корень четной степени определен для неотрицательных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[4]{|-x|}$

По свойству модуля $|-x| = |x|$, следовательно:

$f(-x) = \sqrt[4]{|x|} = f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.