Номер 2, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из четвертей?

Знаки тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс) зависят от координатной четверти, в которой находится угол. Для определения знаков удобно использовать единичную окружность, где точка на окружности, соответствующая углу $ \alpha $, имеет координаты $ (\cos(\alpha), \sin(\alpha)) $.

Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки:

• I четверть: угол от 0° до 90° ($0 < \alpha < \pi/2$). Координаты $x$ и $y$ положительны.
• II четверть: угол от 90° до 180° ($\pi/2 < \alpha < \pi$). Координата $x$ отрицательна, $y$ положительна.
• III четверть: угол от 180° до 270° ($\pi < \alpha < 3\pi/2$). Координаты $x$ и $y$ отрицательны.
• IV четверть: угол от 270° до 360° ($3\pi/2 < \alpha < 2\pi$). Координата $x$ положительна, $y$ отрицательна.

синус
Знак синуса угла $ \alpha $ определяется знаком ординаты $y$ точки на единичной окружности.
- В I четверти $y > 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) > 0 $ (знак "+").
- Во II четверти $y > 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) > 0 $ (знак "+").
- В III четверти $y < 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) < 0 $ (знак "−").
- В IV четверти $y < 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) < 0 $ (знак "−").
Ответ: синус положителен в I и II четвертях, отрицателен в III и IV четвертях.

косинус
Знак косинуса угла $ \alpha $ определяется знаком абсциссы $x$ точки на единичной окружности.
- В I четверти $x > 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) > 0 $ (знак "+").
- Во II четверти $x < 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) < 0 $ (знак "−").
- В III четверти $x < 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) < 0 $ (знак "−").
- В IV четверти $x > 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) > 0 $ (знак "+").
Ответ: косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III четвертях.

тангенс
Знак тангенса определяется по формуле $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $. Знак будет положительным, если знаки синуса и косинуса совпадают, и отрицательным, если они различны.
- В I четверти: $ \frac{(+)}{(+)} = + $. Тангенс положителен.
- Во II четверти: $ \frac{(+)}{(-)} = - $. Тангенс отрицателен.
- В III четверти: $ \frac{(-)}{(-)} = + $. Тангенс положителен.
- В IV четверти: $ \frac{(-)}{(+)} = - $. Тангенс отрицателен.
Ответ: тангенс положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV четвертях.

котангенс
Знак котангенса определяется по формуле $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $. Как и у тангенса, его знак зависит от соотношения знаков синуса и косинуса и полностью совпадает со знаком тангенса.
- В I четверти: $ \frac{(+)}{(+)} = + $. Котангенс положителен.
- Во II четверти: $ \frac{(-)}{(+)} = - $. Котангенс отрицателен.
- В III четверти: $ \frac{(-)}{(-)} = + $. Котангенс положителен.
- В IV четверти: $ \frac{(+)}{(-)} = - $. Котангенс отрицателен.
Ответ: котангенс положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV четвертях.