Номер 16.6, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.6. Найдите значение выражения:

1) $ \sin (-30^{\circ}) - 2\text{tg} (-45^{\circ}) + \cos (-45^{\circ}); $

2) $ 5\text{tg} 0 + 2\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) - 3\text{ctg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 4\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right); $

3) $ \text{tg} \left(-\frac{\pi}{3}\right) \text{ctg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\cos (-\pi) + 4\sin^2 \left(-\frac{\pi}{3}\right). $

1) $\sin(-30^\circ) - 2\text{tg}(-45^\circ) + \cos(-45^\circ)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также их табличными значениями.
Свойства четности/нечетности:
$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (синус — нечетная функция)
$\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (тангенс — нечетная функция)
$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (косинус — четная функция)
Применяя эти свойства, преобразуем выражение:
$\sin(-30^\circ) - 2\text{tg}(-45^\circ) + \cos(-45^\circ) = -\sin(30^\circ) - 2(-\text{tg}(45^\circ)) + \cos(45^\circ) = -\sin(30^\circ) + 2\text{tg}(45^\circ) + \cos(45^\circ)$.
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\text{tg}(45^\circ) = 1$
$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Выполним вычисления:
$-\frac{1}{2} + 2 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$.

2) $5\text{tg}\,0 + 2\sin(-\frac{\pi}{6}) - 3\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{\pi}{2})$

Используем свойства четности/нечетности тригонометрических функций:
$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$
$\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
Преобразуем исходное выражение:
$5\text{tg}\,0 + 2(-\sin(\frac{\pi}{6})) - 3(-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) + 4\cos(\frac{\pi}{2}) = 5\text{tg}\,0 - 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 3\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + 4\cos(\frac{\pi}{2})$.
Подставим табличные значения:
$\text{tg}\,0 = 0$
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Выполним вычисления:
$5 \cdot 0 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 0 - 1 + 3 + 0 = 2$.
Ответ: $2$.

3) $\text{tg}(-\frac{\pi}{3})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) + 2\cos(-\pi) + 4\sin^2(-\frac{\pi}{3})$

Используем свойства четности/нечетности. Также учтем, что $\sin^2(-\alpha) = (\sin(-\alpha))^2 = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.
$\text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3})$
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$
$\cos(-\pi) = \cos(\pi)$
$\sin^2(-\frac{\pi}{3}) = \sin^2(\frac{\pi}{3})$
Преобразуем выражение:
$(-\text{tg}(\frac{\pi}{3})) \cdot (-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) + 2\cos(\pi) + 4\sin^2(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3})\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) + 2\cos(\pi) + 4\sin^2(\frac{\pi}{3})$.
Подставим табличные значения:
$\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$
$\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$
$\cos(\pi) = -1$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Выполним вычисления:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 - 2 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 1 + 3 = 4$.
Ответ: $4$.