Номер 16.13, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 16. Знаки значений тригонометрических функций. Чётность и нечётность тригонометрических функций. Глава 3. Тригонометрические функции - номер 16.13, страница 128.

16.13. Известно, что $\beta$ – угол IV четверти. Упростите выражение:

1) $|\sin\beta| + \sin\beta;$

2) $\cos\beta - |\cos\beta|;$

3) $|\cot\beta| - \cot\beta.$

Для решения этой задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций синуса, косинуса и котангенса для угла $\beta$, который находится в IV четверти координатной плоскости. Углы IV четверти лежат в диапазоне от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан).

• Синус ($\sin \beta$) в IV четверти отрицателен, так как ордината (координата y) точек на единичной окружности отрицательна. Итак, $\sin \beta < 0$.

• Косинус ($\cos \beta$) в IV четверти положителен, так как абсцисса (координата x) точек на единичной окружности положительна. Итак, $\cos \beta > 0$.

• Котангенс ($\operatorname{ctg} \beta$) равен отношению $\frac{\cos \beta}{\sin \beta}$. Поскольку в IV четверти косинус положителен, а синус отрицателен, их отношение будет отрицательным. Итак, $\operatorname{ctg} \beta < 0$.

Используя эти сведения, упростим каждое выражение, применяя определение модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

---

1) $|\sin \beta| + \sin \beta$;

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, $\sin \beta < 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|\sin \beta| = -\sin \beta$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$|\sin \beta| + \sin \beta = (-\sin \beta) + \sin \beta = 0$.

Ответ: 0

---

2) $\cos \beta - |\cos \beta|$;

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, $\cos \beta > 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|\cos \beta| = \cos \beta$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\cos \beta - |\cos \beta| = \cos \beta - \cos \beta = 0$.

Ответ: 0

---

3) $|\operatorname{ctg} \beta| - \operatorname{ctg} \beta$.

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, $\operatorname{ctg} \beta < 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|\operatorname{ctg} \beta| = -\operatorname{ctg} \beta$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$|\operatorname{ctg} \beta| - \operatorname{ctg} \beta = (-\operatorname{ctg} \beta) - \operatorname{ctg} \beta = -2\operatorname{ctg} \beta$.

Ответ: $-2\operatorname{ctg} \beta$