Номер 16.15, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.15. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha > 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha < 0;

3) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};

4) $|\operatorname{tg} \alpha| - \operatorname{tg} \alpha = 0$ и $\alpha \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}?

1) $cos α > 0$ и $tg α > 0$

Для определения четверти воспользуемся знаками тригонометрических функций.
Условие $cos α > 0$ означает, что абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу $α$, положительна. Это справедливо для углов в I и IV четвертях.
По определению тангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}$. Так как по условию $tg α > 0$ и $cos α > 0$, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы и $sin α$ был положителен ($sin α > 0$).
Условие $sin α > 0$ означает, что ордината точки на единичной окружности положительна. Это справедливо для углов в I и II четвертях.
Таким образом, мы ищем четверть, в которой одновременно выполняются условия $cos α > 0$ и $sin α > 0$. Этим условиям удовлетворяет только I четверть.

Ответ: I четверть.

2) $sin α < 0$ и $ctg α < 0$

Проанализируем заданные условия.
Условие $sin α < 0$ означает, что ордината точки на единичной окружности отрицательна. Это справедливо для углов в III и IV четвертях.
По определению котангенса $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$. Так как по условию $ctg α < 0$ и $sin α < 0$, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $cos α$ был положителен ($cos α > 0$).
Условие $cos α > 0$ означает, что абсцисса точки на единичной окружности положительна. Это справедливо для углов в I и IV четвертях.
Следовательно, мы ищем четверть, в которой одновременно выполняются условия $sin α < 0$ и $cos α > 0$. Этим условиям удовлетворяет только IV четверть.

Ответ: IV четверть.

3) $|cos α| = -cos α$ и $α ≠ \frac{πk}{2}, k ∈ Z$

Рассмотрим первое условие: $|cos α| = -cos α$.
По определению модуля числа, равенство $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x ≤ 0$.
Применительно к нашему случаю это означает, что $cos α ≤ 0$.
Неравенство $cos α < 0$ выполняется для углов во II и III четвертях. Равенство $cos α = 0$ выполняется на оси OY, то есть при $α = \frac{π}{2} + πn$, где $n ∈ Z$.
Теперь рассмотрим второе условие: $α ≠ \frac{πk}{2}$, где $k ∈ Z$. Это условие означает, что угол $α$ не может находиться на координатных осях OX и OY.
Объединяя оба условия, мы должны взять те углы, для которых $cos α ≤ 0$, и исключить из них те, что лежат на осях. Исключение углов на осях означает, что мы должны отбросить случай $cos α = 0$.
Таким образом, остается только строгое неравенство $cos α < 0$. Это неравенство выполняется для всех углов, расположенных во II и III четвертях.

Ответ: II или III четверть.

4) $|tg α| - tg α = 0$ и $α ≠ πk, k ∈ Z$

Рассмотрим первое условие: $|tg α| - tg α = 0$, которое можно переписать в виде $|tg α| = tg α$.
По определению модуля числа, равенство $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x ≥ 0$.
Применительно к нашему случаю это означает, что $tg α ≥ 0$.
Неравенство $tg α > 0$ выполняется для углов в I и III четвертях. Равенство $tg α = 0$ выполняется на оси OX, то есть при $α = πn$, где $n ∈ Z$.
Теперь рассмотрим второе условие: $α ≠ πk$, где $k ∈ Z$. Это условие исключает все углы, лежащие на оси OX.
Объединяя оба условия, мы должны взять те углы, для которых $tg α ≥ 0$, и исключить из них те, для которых $α = πk$. Как раз при $α = πk$ тангенс равен нулю ($tg α = 0$).
Следовательно, остается только строгое неравенство $tg α > 0$. Это неравенство выполняется для всех углов, расположенных в I и III четвертях.

Ответ: I или III четверть.