Номер 16.14, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.14. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0$;

3) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha + |\operatorname{ctg} \alpha| = 0$ и $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$?

1) Чтобы определить, углом какой четверти является угол $\alpha$, проанализируем заданные условия: $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.

Неравенство $\sin \alpha > 0$ выполняется для углов, находящихся в I и II координатных четвертях.

Неравенство $\cos \alpha < 0$ выполняется для углов, находящихся во II и III координатных четвертях.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, угол $\alpha$ должен находиться в четверти, которая является общей для обоих условий. Такой четвертью является II четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом второй четверти.

2) Проанализируем условия: $\sin \alpha < 0$ и $\tan \alpha > 0$.

Неравенство $\sin \alpha < 0$ выполняется для углов, находящихся в III и IV координатных четвертях.

Неравенство $\tan \alpha > 0$ выполняется для углов, находящихся в I и III координатных четвертях (так как тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки).

Общей для этих двух условий является III четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом третьей четверти.

3) Рассмотрим условия: $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Равенство $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ по определению модуля выполняется тогда и только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $\sin \alpha \ge 0$.

Неравенство $\sin \alpha \ge 0$ справедливо для углов в I и II четвертях, а также для углов на оси абсцисс ($\alpha = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$), где $\sin \alpha = 0$.

Условие $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$ означает, что угол $\alpha$ не лежит на координатных осях. Это исключает случаи, когда $\sin \alpha = 0$ (на оси Ox) и $\sin \alpha = \pm 1$ (на оси Oy). Таким образом, из $\sin \alpha \ge 0$ мы должны исключить случай $\sin \alpha = 0$.

В результате остается строгое неравенство $\sin \alpha > 0$, которое выполняется для всех углов в I и II четвертях.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом первой или второй четверти.

4) Рассмотрим условия: $\cot \alpha + |\cot \alpha| = 0$ и $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\cot \alpha + |\cot \alpha| = 0$ можно переписать как $|\cot \alpha| = -\cot \alpha$.

По определению модуля, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под модулем неположительно, то есть $\cot \alpha \le 0$.

Неравенство $\cot \alpha < 0$ справедливо для углов во II и IV четвертях. Равенство $\cot \alpha = 0$ выполняется, когда $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$ (углы на оси ординат).

Дополнительное условие $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ как раз исключает случаи, когда $\cot \alpha = 0$.

Следовательно, остается строгое неравенство $\cot \alpha < 0$, которое выполняется для всех углов во II и IV четвертях.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом второй или четвертой четверти.