Номер 16.7, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.7. Найдите значение выражения:

$1) 3\sin (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) + 2\sin (-30^\circ) + 6\cos (-60^\circ);$

$2) \sin^2(-60^\circ) + \cos^2(-30^\circ);$

$3) 2\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) \operatorname{ctg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right).$

1) Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также табличными значениями.
Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Косинус является четной функцией, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$.
Значения, которые нам понадобятся:$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Преобразуем выражение:$3\sin(-45^\circ) + \cos(-45^\circ) + 2\sin(-30^\circ) + 6\cos(-60^\circ) = 3(-\sin(45^\circ)) + \cos(45^\circ) + 2(-\sin(30^\circ)) + 6\cos(60^\circ)$.
Подставим числовые значения и вычислим:$3(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2(-\frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + 3 = -\frac{2\sqrt{2}}{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

2) Для решения этого примера также используем свойства четности и нечетности.
$\sin^2(-60^\circ) = (\sin(-60^\circ))^2 = (-\sin(60^\circ))^2 = \sin^2(60^\circ)$.
$\cos^2(-30^\circ) = (\cos(-30^\circ))^2 = (\cos(30^\circ))^2 = \cos^2(30^\circ)$.
Табличные значения: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в выражение:$\sin^2(-60^\circ) + \cos^2(-30^\circ) = \sin^2(60^\circ) + \cos^2(30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) В данном выражении используются функции, заданные в радианах. Применим свойства четности и нечетности. Тангенс, котангенс и синус - нечетные функции, а косинус - четная.
$\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4})$
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$
Табличные значения: $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Преобразуем исходное выражение:$2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) + 3\sin(-\frac{\pi}{2}) + 4\cos(-\frac{\pi}{6}) = 2(-\text{tg}(\frac{\pi}{4}))(-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) + 3(-\sin(\frac{\pi}{2})) + 4\cos(\frac{\pi}{6})$.
Подставим числовые значения:$2(-1)(-\sqrt{3}) + 3(-1) + 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} - 3 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3$.
Ответ: $4\sqrt{3} - 3$.