Номер 16.11, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.11. Сравните:

1) $\sin 200^\circ$ и $\sin (-250^\circ)$;

2) $\operatorname{ctg} 100^\circ$ и $\operatorname{ctg} 80^\circ$;

3) $\cos 250^\circ$ и $\cos 290^\circ$;

4) $\cos 6,2$ и $\sin 5$.

1) sin 200° и sin(-250°)

Для сравнения двух значений тригонометрических функций, приведем их к более удобному виду и определим их знаки.

Сначала преобразуем $ \sin(-250°) $. Используем свойство нечетности синуса, согласно которому $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ \sin(-250°) = -\sin(250°) $

Также можно воспользоваться периодичностью синуса, прибавив к углу $360°$:

$ \sin(-250°) = \sin(-250° + 360°) = \sin(110°) $

Теперь сравним $ \sin(200°) $ и $ \sin(110°) $.

Определим, в каких четвертях находятся углы:

• Угол $200°$ находится в III четверти ($180° < 200° < 270°$). Синус в III четверти отрицателен, следовательно, $ \sin(200°) < 0 $.
• Угол $110°$ находится во II четверти ($90° < 110° < 180°$). Синус во II четверти положителен, следовательно, $ \sin(110°) > 0 $.

Сравнивая отрицательное число $ \sin(200°) $ и положительное число $ \sin(110°) $, мы заключаем, что $ \sin(200°) < \sin(110°) $.
Следовательно, $ \sin(200°) < \sin(-250°) $.

Ответ: $ \sin(200°) < \sin(-250°) $

2) ctg 100° и ctg 80°

Определим знаки значений котангенса для данных углов, исходя из того, в каких четвертях они расположены.

• Угол $100°$ находится во II четверти ($90° < 100° < 180°$). Котангенс во II четверти отрицателен, поэтому $ \operatorname{ctg}(100°) < 0 $.
• Угол $80°$ находится в I четверти ($0° < 80° < 90°$). Котангенс в I четверти положителен, поэтому $ \operatorname{ctg}(80°) > 0 $.

Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, то $ \operatorname{ctg}(100°) < \operatorname{ctg}(80°) $.

Ответ: $ \operatorname{ctg}(100°) < \operatorname{ctg}(80°) $

3) cos 250° и cos 290°

Определим знаки значений косинуса для данных углов.

• Угол $250°$ находится в III четверти ($180° < 250° < 270°$). Косинус в III четверти отрицателен, значит, $ \cos(250°) < 0 $.
• Угол $290°$ находится в IV четверти ($270° < 290° < 360°$). Косинус в IV четверти положителен, значит, $ \cos(290°) > 0 $.

Сравнивая отрицательное число $ \cos(250°) $ с положительным числом $ \cos(290°) $, получаем, что $ \cos(250°) < \cos(290°) $.

Ответ: $ \cos(250°) < \cos(290°) $

4) cos 6,2 и sin 5

В этом случае углы заданы в радианах. Для определения их положения на единичной окружности используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

Тогда:

• $ \pi/2 \approx 1,57 $
• $ \pi \approx 3,14 $
• $ 3\pi/2 \approx 4,71 $
• $ 2\pi \approx 6,28 $

Определим знак каждого выражения:

• Для $ \cos(6,2) $: угол $6,2$ радиан удовлетворяет неравенству $ 4,71 < 6,2 < 6,28 $, то есть $ 3\pi/2 < 6,2 < 2\pi $. Это означает, что угол $6,2$ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти положителен, следовательно, $ \cos(6,2) > 0 $.
• Для $ \sin(5) $: угол $5$ радиан удовлетворяет неравенству $ 4,71 < 5 < 6,28 $, то есть $ 3\pi/2 < 5 < 2\pi $. Это означает, что угол $5$ также находится в IV четверти. Синус в IV четверти отрицателен, следовательно, $ \sin(5) < 0 $.

Сравнивая положительное число $ \cos(6,2) $ и отрицательное число $ \sin(5) $, мы приходим к выводу, что $ \cos(6,2) > \sin(5) $.

Ответ: $ \cos(6,2) > \sin(5) $