Номер 16.16, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.16. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{\text{tg } x}{x}$;

2) $f(x) = \frac{1 - \text{cos } x}{1 + \text{cos } x}$;

3) $f(x) = x^3 + \text{cos } x$;

4) $f(x) = \frac{x \text{ sin } x}{1 - \text{cos } x}$;

5) $f(x) = \frac{(x-1)\text{cos } x}{x-1}$;

6) $f(x) = \frac{x^3 \text{ sin } x}{x}$.

1) $f(x) = \frac{\tg x}{x}$

Первым шагом проверим область определения функции $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Кроме того, функция тангенса определена только для тех $x$, для которых $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. Таким образом, область определения $D(f)$ состоит из всех действительных чисел, кроме $0$ и точек вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Эта область определения симметрична относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

Вторым шагом найдём $f(-x)$ и сравним его с $f(x)$. $f(-x) = \frac{\tg(-x)}{-x}$. Так как тангенс является нечётной функцией, то $\tg(-x) = -\tg x$. $f(-x) = \frac{-\tg x}{-x} = \frac{\tg x}{x} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен равняться нулю: $1 + \cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq -1$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ является симметричной относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)}$. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos(-x) = \cos x$. $f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = f(x)$.

Так как область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

3) $f(x) = x^3 + \cos x$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа $\mathbb{R}$, так как оба слагаемых ($x^3$ и $\cos x$) определены для любого $x$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$: $f(-x) = -x^3 + \cos x \neq x^3 + \cos x = f(x)$. $f(-x) = -x^3 + \cos x \neq -(x^3 + \cos x) = -x^3 - \cos x$. Поскольку не выполняется ни условие чётности ($f(-x) = f(x)$), ни условие нечётности ($f(-x) = -f(x)$), функция не является ни чётной, ни нечётной. Это также следует из того, что функция представляет собой сумму нечётной функции ($x^3$) и чётной функции ($\cos x$).

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

4) $f(x) = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - \cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 1$. Это условие не выполняется при $x = 2\pi k$ для любого целого $k$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1 - \cos(-x)}$. Используем свойства чётности синуса и косинуса: $\sin(-x) = -\sin x$ и $\cos(-x) = \cos x$. $f(-x) = \frac{(-x)(-\sin x)}{1 - \cos x} = \frac{x \sin x}{1 - \cos x} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

5) $f(x) = \frac{(x-1)\cos x}{x-1}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x = -1$ принадлежит области определения, а точка $x = 1$ — нет.

Так как область определения функции несимметрична, функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

6) $f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^3 \sin(-x)}{-x}$. Используем свойства степенной функции и синуса: $(-x)^3 = -x^3$ и $\sin(-x) = -\sin x$. $f(-x) = \frac{(-x^3)(-\sin x)}{-x} = \frac{x^3 \sin x}{-x} = -\frac{x^3 \sin x}{x} = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.