Страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.8. Известно, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\sin \alpha \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha};$

3) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha};$

4) $\sin \alpha - \cos \alpha.$

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй тригонометрической четверти.

В этой четверти знаки основных тригонометрических функций следующие:
$\sin \alpha > 0$ (синус положителен),
$\cos \alpha < 0$ (косинус отрицателен),
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (тангенс отрицателен).

Используя эту информацию, определим знак каждого из предложенных выражений.

1) $\sin \alpha \tg \alpha$
Данное выражение является произведением $\sin \alpha$ (положительное число) и $\tg \alpha$ (отрицательное число). Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.
Следовательно, $\sin \alpha \tg \alpha < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

2) $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$
В этом выражении числитель $\sin^2 \alpha$ всегда положителен, так как это квадрат ненулевого числа (поскольку $\alpha$ находится во второй четверти, $\sin \alpha \neq 0$). Знаменатель $\cos \alpha$ отрицателен. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
Следовательно, $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

3) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$
Числитель $\sin^3 \alpha$ положителен, так как $\sin \alpha > 0$. Знаменатель $\cos \alpha$ отрицателен. Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным.
Следовательно, $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

4) $\sin \alpha - \cos \alpha$
Это разность, где уменьшаемое $\sin \alpha$ положительно, а вычитаемое $\cos \alpha$ отрицательно. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного: $\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + (-\cos \alpha)$. Поскольку $\cos \alpha < 0$, то $-\cos \alpha > 0$. Сумма двух положительных чисел ($\sin \alpha$ и $-\cos \alpha$) всегда положительна.
Следовательно, $\sin \alpha - \cos \alpha > 0$.
Ответ: значение выражения больше нуля.

16.9. Известно, что $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\sin \beta \cos \beta$;

2) $\frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}$;

3) $\frac{\text{tg}^3 \beta}{\sin \beta}$;

4) $\sin \beta + \cos \beta$.

Для решения задачи определим знаки тригонометрических функций в заданном интервале. Условие $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ означает, что угол $\beta$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

Таким образом, мы имеем: $\sin \beta < 0$, $\cos \beta < 0$ и $\operatorname{tg} \beta > 0$.

1) $\sin \beta \cos \beta$

Данное выражение представляет собой произведение синуса и косинуса. Поскольку в третьей четверти $\sin \beta < 0$ и $\cos \beta < 0$, их произведение будет положительным, так как произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

$\sin \beta \cos \beta = (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное}$.

Следовательно, выражение больше нуля.

Ответ: $\sin \beta \cos \beta > 0$.

2) $\frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби. Числитель: $\sin \beta < 0$.

Знаменатель: $\cos^2 \beta$ представляет собой квадрат косинуса. Так как в заданном интервале $\cos \beta \neq 0$, квадрат этого значения всегда будет положительным: $\cos^2 \beta > 0$.

При делении отрицательного числа (числитель) на положительное (знаменатель) результат будет отрицательным.

Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $\frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta} < 0$.

3) $\frac{\operatorname{tg}^3 \beta}{\sin \beta}$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби. Числитель: в третьей четверти $\operatorname{tg} \beta > 0$, следовательно, куб этого значения также будет положительным: $\operatorname{tg}^3 \beta > 0$.

Знаменатель: $\sin \beta < 0$.

При делении положительного числа (числитель) на отрицательное (знаменатель) результат будет отрицательным.

Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $\frac{\operatorname{tg}^3 \beta}{\sin \beta} < 0$.

4) $\sin \beta + \cos \beta$

Данное выражение является суммой синуса и косинуса. В третьей четверти обе функции принимают отрицательные значения: $\sin \beta < 0$ и $\cos \beta < 0$.

Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом.

Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $\sin \beta + \cos \beta < 0$.

16.10. Сравните:

1) $ \text{tg } 130^\circ $ и $ \text{tg } (-130^\circ) $;

2) $ \text{tg } 110^\circ $ и $ \text{tg } 193^\circ $;

3) $ \cos 80^\circ $ и $ \sin 330^\circ $;

4) $ \sin 60^\circ $ и $ \sin \frac{8\pi}{7} $;

5) $ \text{ctg } \frac{2\pi}{3} $ и $ \cos 280^\circ $;

6) $ \text{ctg } 6 $ и $ \text{ctg } 6^\circ $.

1) tg 130° и tg (-130°);

Для сравнения значений воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Функция тангенс является нечетной, это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется равенство $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. Применим это свойство к нашему случаю: $tg(-130°) = -tg(130°)$. Теперь определим знак $tg(130°)$. Угол $130°$ находится во второй координатной четверти ($90° < 130° < 180°$). Во второй четверти значения тангенса отрицательны, то есть $tg(130°) < 0$. Так как $tg(130°)$ — отрицательное число, то $-tg(130°)$ — положительное число. Следовательно, $tg(-130°) > 0$. Мы сравниваем отрицательное число $tg(130°)$ и положительное число $tg(-130°)$. Любое положительное число больше любого отрицательного. Таким образом, $tg(130°) < tg(-130°)$.
Ответ: $tg(130°) < tg(-130°)$.

2) tg 110° и tg 193°;

Для сравнения этих значений определим, в каких координатных четвертях находятся углы и какие знаки имеет тангенс в этих четвертях.
Угол $110°$ находится во второй четверти ($90° < 110° < 180°$). Во второй четверти тангенс имеет отрицательный знак, следовательно, $tg(110°) < 0$.
Угол $193°$ находится в третьей четверти ($180° < 193° < 270°$). В третьей четверти тангенс имеет положительный знак, следовательно, $tg(193°) > 0$.
Сравнивая отрицательное число $tg(110°)$ с положительным числом $tg(193°)$, приходим к выводу, что $tg(110°) < tg(193°)$.
Ответ: $tg(110°) < tg(193°)$.

3) cos 80° и sin 330°;

Определим знаки каждого из выражений.
Угол $80°$ находится в первой четверти ($0° < 80° < 90°$). Косинус в первой четверти положителен, значит, $cos(80°) > 0$.
Угол $330°$ находится в четвертой четверти ($270° < 330° < 360°$). Синус в четвертой четверти отрицателен, значит, $sin(330°) < 0$.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $cos(80°) > sin(330°)$.
Ответ: $cos(80°) > sin(330°)$.

4) sin 60° и sin $\frac{8\pi}{7}$;

Определим знаки синусов для данных углов.
Угол $60°$ находится в первой четверти, где синус положителен: $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.
Для угла $\frac{8\pi}{7}$ определим его положение на тригонометрической окружности. Так как $\pi = \frac{7\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$, то выполняется неравенство $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\frac{8\pi}{7}$ находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен: $sin(\frac{8\pi}{7}) < 0$.
Сравнивая положительное число $sin(60°)$ и отрицательное $sin(\frac{8\pi}{7})$, заключаем, что $sin(60°) > sin(\frac{8\pi}{7})$.
Ответ: $sin(60°) > sin(\frac{8\pi}{7})$.

5) ctg $\frac{2\pi}{3}$ и cos 280°;

Определим знаки каждого из выражений.
Угол $\frac{2\pi}{3}$ соответствует $120°$. Он находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$), где котангенс отрицателен: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < 0$.
Угол $280°$ находится в четвертой четверти ($270° < 280° < 360°$), где косинус положителен: $cos(280°) > 0$.
Сравнивая отрицательное и положительное числа, получаем, что $ctg(\frac{2\pi}{3}) < cos(280°)$.
Ответ: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < cos(280°)$.

6) ctg 6 и ctg 6°;

В этом задании необходимо сравнить значения котангенса для угла, заданного в радианах ($6$) и в градусах ($6°$).
Угол $6°$ находится в первой четверти ($0° < 6° < 90°$), поэтому его котангенс является положительным числом: $ctg(6°) > 0$.
Теперь определим четверть для угла в $6$ радиан. Используем известные значения числа $\pi \approx 3.14159$.
Границы четвертой четверти в радианах: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$.
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3.14159}{2} \approx 4.712$
$2\pi \approx 2 \times 3.14159 \approx 6.283$
Поскольку $4.712 < 6 < 6.283$, угол в 6 радиан находится в четвертой координатной четверти. Котангенс в этой четверти отрицателен: $ctg(6) < 0$.
Сравнивая отрицательное число $ctg(6)$ и положительное число $ctg(6°)$, приходим к выводу, что $ctg(6) < ctg(6°)$.
Ответ: $ctg(6) < ctg(6°)$.

16.11. Сравните:

1) $\sin 200^\circ$ и $\sin (-250^\circ)$;

2) $\operatorname{ctg} 100^\circ$ и $\operatorname{ctg} 80^\circ$;

3) $\cos 250^\circ$ и $\cos 290^\circ$;

4) $\cos 6,2$ и $\sin 5$.

1) sin 200° и sin(-250°)

Для сравнения двух значений тригонометрических функций, приведем их к более удобному виду и определим их знаки.

Сначала преобразуем $ \sin(-250°) $. Используем свойство нечетности синуса, согласно которому $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.

$ \sin(-250°) = -\sin(250°) $

Также можно воспользоваться периодичностью синуса, прибавив к углу $360°$:

$ \sin(-250°) = \sin(-250° + 360°) = \sin(110°) $

Теперь сравним $ \sin(200°) $ и $ \sin(110°) $.

Определим, в каких четвертях находятся углы:

• Угол $200°$ находится в III четверти ($180° < 200° < 270°$). Синус в III четверти отрицателен, следовательно, $ \sin(200°) < 0 $.
• Угол $110°$ находится во II четверти ($90° < 110° < 180°$). Синус во II четверти положителен, следовательно, $ \sin(110°) > 0 $.

Сравнивая отрицательное число $ \sin(200°) $ и положительное число $ \sin(110°) $, мы заключаем, что $ \sin(200°) < \sin(110°) $.
Следовательно, $ \sin(200°) < \sin(-250°) $.

Ответ: $ \sin(200°) < \sin(-250°) $

2) ctg 100° и ctg 80°

Определим знаки значений котангенса для данных углов, исходя из того, в каких четвертях они расположены.

• Угол $100°$ находится во II четверти ($90° < 100° < 180°$). Котангенс во II четверти отрицателен, поэтому $ \operatorname{ctg}(100°) < 0 $.
• Угол $80°$ находится в I четверти ($0° < 80° < 90°$). Котангенс в I четверти положителен, поэтому $ \operatorname{ctg}(80°) > 0 $.

Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, то $ \operatorname{ctg}(100°) < \operatorname{ctg}(80°) $.

Ответ: $ \operatorname{ctg}(100°) < \operatorname{ctg}(80°) $

3) cos 250° и cos 290°

Определим знаки значений косинуса для данных углов.

• Угол $250°$ находится в III четверти ($180° < 250° < 270°$). Косинус в III четверти отрицателен, значит, $ \cos(250°) < 0 $.
• Угол $290°$ находится в IV четверти ($270° < 290° < 360°$). Косинус в IV четверти положителен, значит, $ \cos(290°) > 0 $.

Сравнивая отрицательное число $ \cos(250°) $ с положительным числом $ \cos(290°) $, получаем, что $ \cos(250°) < \cos(290°) $.

Ответ: $ \cos(250°) < \cos(290°) $

4) cos 6,2 и sin 5

В этом случае углы заданы в радианах. Для определения их положения на единичной окружности используем приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $.

Тогда:

• $ \pi/2 \approx 1,57 $
• $ \pi \approx 3,14 $
• $ 3\pi/2 \approx 4,71 $
• $ 2\pi \approx 6,28 $

Определим знак каждого выражения:

• Для $ \cos(6,2) $: угол $6,2$ радиан удовлетворяет неравенству $ 4,71 < 6,2 < 6,28 $, то есть $ 3\pi/2 < 6,2 < 2\pi $. Это означает, что угол $6,2$ находится в IV четверти. Косинус в IV четверти положителен, следовательно, $ \cos(6,2) > 0 $.
• Для $ \sin(5) $: угол $5$ радиан удовлетворяет неравенству $ 4,71 < 5 < 6,28 $, то есть $ 3\pi/2 < 5 < 2\pi $. Это означает, что угол $5$ также находится в IV четверти. Синус в IV четверти отрицателен, следовательно, $ \sin(5) < 0 $.

Сравнивая положительное число $ \cos(6,2) $ и отрицательное число $ \sin(5) $, мы приходим к выводу, что $ \cos(6,2) > \sin(5) $.

Ответ: $ \cos(6,2) > \sin(5) $

16.12. Известно, что $ \alpha $ – угол III четверти. Упростите выражение:

1) $ \sin \alpha - |\sin \alpha| $;

2) $ |\cos \alpha| - \cos \alpha $;

3) $ |\operatorname{tg} \alpha| - \operatorname{tg} \alpha $.

Для решения этой задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций для угла $\alpha$, который находится в III четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$).

• Синус в III четверти отрицателен: $\sin \alpha < 0$.
• Косинус в III четверти отрицателен: $\cos \alpha < 0$.
• Тангенс в III четверти положителен: $\text{tg} \alpha > 0$.

Будем использовать определение модуля: $|x| = x$, если $x \geq 0$, и $|x| = -x$, если $x < 0$.

1) $\sin \alpha - |\sin \alpha|$
Поскольку $\alpha$ — угол III четверти, то $\sin \alpha < 0$.
Следовательно, по определению модуля, $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$.
Подставим это в выражение:
$\sin \alpha - (-\sin \alpha) = \sin \alpha + \sin \alpha = 2\sin \alpha$.
Ответ: $2\sin \alpha$.

2) $|\cos \alpha| - \cos \alpha$
Поскольку $\alpha$ — угол III четверти, то $\cos \alpha < 0$.
Следовательно, по определению модуля, $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$.
Подставим это в выражение:
$(-\cos \alpha) - \cos \alpha = -2\cos \alpha$.
Ответ: $-2\cos \alpha$.

3) $|\text{tg} \alpha| - \text{tg} \alpha$
Поскольку $\alpha$ — угол III четверти, то $\text{tg} \alpha > 0$.
Следовательно, по определению модуля, $|\text{tg} \alpha| = \text{tg} \alpha$.
Подставим это в выражение:
$\text{tg} \alpha - \text{tg} \alpha = 0$.
Ответ: $0$.

16.13. Известно, что $\beta$ – угол IV четверти. Упростите выражение:

1) $|\sin\beta| + \sin\beta;$

2) $\cos\beta - |\cos\beta|;$

3) $|\cot\beta| - \cot\beta.$

Для решения этой задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций синуса, косинуса и котангенса для угла $\beta$, который находится в IV четверти координатной плоскости. Углы IV четверти лежат в диапазоне от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан).

• Синус ($\sin \beta$) в IV четверти отрицателен, так как ордината (координата y) точек на единичной окружности отрицательна. Итак, $\sin \beta < 0$.

• Косинус ($\cos \beta$) в IV четверти положителен, так как абсцисса (координата x) точек на единичной окружности положительна. Итак, $\cos \beta > 0$.

• Котангенс ($\operatorname{ctg} \beta$) равен отношению $\frac{\cos \beta}{\sin \beta}$. Поскольку в IV четверти косинус положителен, а синус отрицателен, их отношение будет отрицательным. Итак, $\operatorname{ctg} \beta < 0$.

Используя эти сведения, упростим каждое выражение, применяя определение модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

1) $|\sin \beta| + \sin \beta$;

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, $\sin \beta < 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|\sin \beta| = -\sin \beta$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$|\sin \beta| + \sin \beta = (-\sin \beta) + \sin \beta = 0$.

Ответ: 0

2) $\cos \beta - |\cos \beta|$;

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, $\cos \beta > 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|\cos \beta| = \cos \beta$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\cos \beta - |\cos \beta| = \cos \beta - \cos \beta = 0$.

Ответ: 0

3) $|\operatorname{ctg} \beta| - \operatorname{ctg} \beta$.

Поскольку угол $\beta$ находится в IV четверти, $\operatorname{ctg} \beta < 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|\operatorname{ctg} \beta| = -\operatorname{ctg} \beta$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$|\operatorname{ctg} \beta| - \operatorname{ctg} \beta = (-\operatorname{ctg} \beta) - \operatorname{ctg} \beta = -2\operatorname{ctg} \beta$.

Ответ: $-2\operatorname{ctg} \beta$

16.14. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0$;

3) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha + |\operatorname{ctg} \alpha| = 0$ и $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$?

1) Чтобы определить, углом какой четверти является угол $\alpha$, проанализируем заданные условия: $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.

Неравенство $\sin \alpha > 0$ выполняется для углов, находящихся в I и II координатных четвертях.

Неравенство $\cos \alpha < 0$ выполняется для углов, находящихся во II и III координатных четвертях.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, угол $\alpha$ должен находиться в четверти, которая является общей для обоих условий. Такой четвертью является II четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом второй четверти.

2) Проанализируем условия: $\sin \alpha < 0$ и $\tan \alpha > 0$.

Неравенство $\sin \alpha < 0$ выполняется для углов, находящихся в III и IV координатных четвертях.

Неравенство $\tan \alpha > 0$ выполняется для углов, находящихся в I и III координатных четвертях (так как тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки).

Общей для этих двух условий является III четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом третьей четверти.

3) Рассмотрим условия: $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Равенство $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ по определению модуля выполняется тогда и только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $\sin \alpha \ge 0$.

Неравенство $\sin \alpha \ge 0$ справедливо для углов в I и II четвертях, а также для углов на оси абсцисс ($\alpha = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$), где $\sin \alpha = 0$.

Условие $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$ означает, что угол $\alpha$ не лежит на координатных осях. Это исключает случаи, когда $\sin \alpha = 0$ (на оси Ox) и $\sin \alpha = \pm 1$ (на оси Oy). Таким образом, из $\sin \alpha \ge 0$ мы должны исключить случай $\sin \alpha = 0$.

В результате остается строгое неравенство $\sin \alpha > 0$, которое выполняется для всех углов в I и II четвертях.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом первой или второй четверти.

4) Рассмотрим условия: $\cot \alpha + |\cot \alpha| = 0$ и $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\cot \alpha + |\cot \alpha| = 0$ можно переписать как $|\cot \alpha| = -\cot \alpha$.

По определению модуля, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под модулем неположительно, то есть $\cot \alpha \le 0$.

Неравенство $\cot \alpha < 0$ справедливо для углов во II и IV четвертях. Равенство $\cot \alpha = 0$ выполняется, когда $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$ (углы на оси ординат).

Дополнительное условие $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ как раз исключает случаи, когда $\cot \alpha = 0$.

Следовательно, остается строгое неравенство $\cot \alpha < 0$, которое выполняется для всех углов во II и IV четвертях.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом второй или четвертой четверти.

16.15. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha > 0$ и $\operatorname{tg} \alpha > 0;

2) $\sin \alpha < 0$ и $\operatorname{ctg} \alpha < 0;

3) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ и $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z};

4) $|\operatorname{tg} \alpha| - \operatorname{tg} \alpha = 0$ и $\alpha \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}?

1) $cos α > 0$ и $tg α > 0$

Для определения четверти воспользуемся знаками тригонометрических функций.
Условие $cos α > 0$ означает, что абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу $α$, положительна. Это справедливо для углов в I и IV четвертях.
По определению тангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}$. Так как по условию $tg α > 0$ и $cos α > 0$, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы и $sin α$ был положителен ($sin α > 0$).
Условие $sin α > 0$ означает, что ордината точки на единичной окружности положительна. Это справедливо для углов в I и II четвертях.
Таким образом, мы ищем четверть, в которой одновременно выполняются условия $cos α > 0$ и $sin α > 0$. Этим условиям удовлетворяет только I четверть.

Ответ: I четверть.

2) $sin α < 0$ и $ctg α < 0$

Проанализируем заданные условия.
Условие $sin α < 0$ означает, что ордината точки на единичной окружности отрицательна. Это справедливо для углов в III и IV четвертях.
По определению котангенса $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$. Так как по условию $ctg α < 0$ и $sin α < 0$, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы $cos α$ был положителен ($cos α > 0$).
Условие $cos α > 0$ означает, что абсцисса точки на единичной окружности положительна. Это справедливо для углов в I и IV четвертях.
Следовательно, мы ищем четверть, в которой одновременно выполняются условия $sin α < 0$ и $cos α > 0$. Этим условиям удовлетворяет только IV четверть.

Ответ: IV четверть.

3) $|cos α| = -cos α$ и $α ≠ \frac{πk}{2}, k ∈ Z$

Рассмотрим первое условие: $|cos α| = -cos α$.
По определению модуля числа, равенство $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x ≤ 0$.
Применительно к нашему случаю это означает, что $cos α ≤ 0$.
Неравенство $cos α < 0$ выполняется для углов во II и III четвертях. Равенство $cos α = 0$ выполняется на оси OY, то есть при $α = \frac{π}{2} + πn$, где $n ∈ Z$.
Теперь рассмотрим второе условие: $α ≠ \frac{πk}{2}$, где $k ∈ Z$. Это условие означает, что угол $α$ не может находиться на координатных осях OX и OY.
Объединяя оба условия, мы должны взять те углы, для которых $cos α ≤ 0$, и исключить из них те, что лежат на осях. Исключение углов на осях означает, что мы должны отбросить случай $cos α = 0$.
Таким образом, остается только строгое неравенство $cos α < 0$. Это неравенство выполняется для всех углов, расположенных во II и III четвертях.

Ответ: II или III четверть.

4) $|tg α| - tg α = 0$ и $α ≠ πk, k ∈ Z$

Рассмотрим первое условие: $|tg α| - tg α = 0$, которое можно переписать в виде $|tg α| = tg α$.
По определению модуля числа, равенство $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x ≥ 0$.
Применительно к нашему случаю это означает, что $tg α ≥ 0$.
Неравенство $tg α > 0$ выполняется для углов в I и III четвертях. Равенство $tg α = 0$ выполняется на оси OX, то есть при $α = πn$, где $n ∈ Z$.
Теперь рассмотрим второе условие: $α ≠ πk$, где $k ∈ Z$. Это условие исключает все углы, лежащие на оси OX.
Объединяя оба условия, мы должны взять те углы, для которых $tg α ≥ 0$, и исключить из них те, для которых $α = πk$. Как раз при $α = πk$ тангенс равен нулю ($tg α = 0$).
Следовательно, остается только строгое неравенство $tg α > 0$. Это неравенство выполняется для всех углов, расположенных в I и III четвертях.

Ответ: I или III четверть.

16.16. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{\text{tg } x}{x}$;

2) $f(x) = \frac{1 - \text{cos } x}{1 + \text{cos } x}$;

3) $f(x) = x^3 + \text{cos } x$;

4) $f(x) = \frac{x \text{ sin } x}{1 - \text{cos } x}$;

5) $f(x) = \frac{(x-1)\text{cos } x}{x-1}$;

6) $f(x) = \frac{x^3 \text{ sin } x}{x}$.

1) $f(x) = \frac{\tg x}{x}$

Первым шагом проверим область определения функции $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Кроме того, функция тангенса определена только для тех $x$, для которых $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. Таким образом, область определения $D(f)$ состоит из всех действительных чисел, кроме $0$ и точек вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Эта область определения симметрична относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

Вторым шагом найдём $f(-x)$ и сравним его с $f(x)$. $f(-x) = \frac{\tg(-x)}{-x}$. Так как тангенс является нечётной функцией, то $\tg(-x) = -\tg x$. $f(-x) = \frac{-\tg x}{-x} = \frac{\tg x}{x} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен равняться нулю: $1 + \cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq -1$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ является симметричной относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)}$. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos(-x) = \cos x$. $f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = f(x)$.

Так как область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

3) $f(x) = x^3 + \cos x$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа $\mathbb{R}$, так как оба слагаемых ($x^3$ и $\cos x$) определены для любого $x$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$: $f(-x) = -x^3 + \cos x \neq x^3 + \cos x = f(x)$. $f(-x) = -x^3 + \cos x \neq -(x^3 + \cos x) = -x^3 - \cos x$. Поскольку не выполняется ни условие чётности ($f(-x) = f(x)$), ни условие нечётности ($f(-x) = -f(x)$), функция не является ни чётной, ни нечётной. Это также следует из того, что функция представляет собой сумму нечётной функции ($x^3$) и чётной функции ($\cos x$).

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

4) $f(x) = \frac{x \sin x}{1 - \cos x}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - \cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq 1$. Это условие не выполняется при $x = 2\pi k$ для любого целого $k$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1 - \cos(-x)}$. Используем свойства чётности синуса и косинуса: $\sin(-x) = -\sin x$ и $\cos(-x) = \cos x$. $f(-x) = \frac{(-x)(-\sin x)}{1 - \cos x} = \frac{x \sin x}{1 - \cos x} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

5) $f(x) = \frac{(x-1)\cos x}{x-1}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x = -1$ принадлежит области определения, а точка $x = 1$ — нет.

Так как область определения функции несимметрична, функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

6) $f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x}$

Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^3 \sin(-x)}{-x}$. Используем свойства степенной функции и синуса: $(-x)^3 = -x^3$ и $\sin(-x) = -\sin x$. $f(-x) = \frac{(-x^3)(-\sin x)}{-x} = \frac{x^3 \sin x}{-x} = -\frac{x^3 \sin x}{x} = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

16.17. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x;$

2) $f(x) = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x};$

3) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1};$

4) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^3 - 1};$

5) $f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3};$

6) $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}.$

1) Для исследования функции $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$ на четность необходимо выполнить два шага: проверить симметричность области определения и проверить соотношение между $f(-x)$ и $f(x)$.
1. Область определения.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Функция $\operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения $D(f)$ функции $f(x)$ состоит из всех действительных чисел, кроме $x = \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.
Эта область определения является симметричной относительно начала координат, так как если $x_0$ принадлежит $D(f)$, то и $-x_0$ также принадлежит $D(f)$.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.
Используем свойства нечетности тангенса и котангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.
$f(-x) = (-\operatorname{tg} x) + (-\operatorname{ctg} x) = -(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x)$.
Таким образом, мы получили, что $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

2) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x}$.
1. Область определения.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sin x - \operatorname{tg} x \neq 0$.
$\sin x - \frac{\sin x}{\cos x} \neq 0 \implies \frac{\sin x \cos x - \sin x}{\cos x} \neq 0 \implies \frac{\sin x (\cos x - 1)}{\cos x} \neq 0$.
Это условие выполняется, когда $\sin x \neq 0$ (т.е. $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$) и $\cos x \neq 1$ (т.е. $x \neq 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$).
Объединяя все ограничения, получаем, что область определения $D(f)$ — это все $x$, для которых $x \neq \frac{\pi j}{2}$ для любого целого $j$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\sin(-x) + \operatorname{tg}(-x)}{\sin(-x) - \operatorname{tg}(-x)}$.
Так как $\sin x$ и $\operatorname{tg} x$ являются нечетными функциями, то $\sin(-x) = -\sin x$ и $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$.
$f(-x) = \frac{-\sin x - \operatorname{tg} x}{-\sin x - (-\operatorname{tg} x)} = \frac{-(\sin x + \operatorname{tg} x)}{-(\sin x - \operatorname{tg} x)} = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x}$.
Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.
Ответ: функция четная.

3) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$.
1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\cos(-x)}{(-x)^2 - 1}$.
Функция $\cos x$ является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos x$. Функция $y=x^2$ также четная, поэтому $(-x)^2 = x^2$.
$f(-x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$, что означает, что функция является четной.
Ответ: функция четная.

4) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^3 - 1}$.
1. Область определения.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 1 \neq 0 \implies x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$.
Область определения $D(f)$ состоит из всех действительных чисел, за исключением $x = 1$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим симметричность области определения. Точка $x = 1$ не принадлежит $D(f)$. Проверим точку $x = -1$. Так как $-1 \neq 1$ и $-1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ (поскольку $-1/\pi - 1/2$ не целое), то точка $x = -1$ принадлежит $D(f)$.
Поскольку область определения $D(f)$ не является симметричной относительно начала координат ($1 \notin D(f)$, но $-1 \in D(f)$), функция не может быть ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

5) Исследуем на четность функцию $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
1. Область определения.
Область определения функции косинус — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \cos(-x + \frac{\pi}{3}) = \cos(-(x - \frac{\pi}{3}))$.
Используя свойство четности косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем: $f(-x) = \cos(x - \frac{\pi}{3})$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Равенство $f(-x) = f(x)$ свелось бы к $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$. Это равенство не выполняется для всех $x$ (например, для $x=\pi/6$, $\cos(\pi/6) \neq \cos(\pi/2)$). Значит, функция не является четной.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$. Равенство $f(-x) = -f(x)$ свелось бы к $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = -\cos(x + \frac{\pi}{3})$. Это равенство также не выполняется для всех $x$ (например, для $x=0$, $\cos(-\pi/3) \neq -\cos(\pi/3)$). Значит, функция не является нечетной.
Так как ни одно из условий четности или нечетности не выполняется, функция является функцией общего вида.
Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

6) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$.
1. Область определения.
Прежде чем упрощать выражение, необходимо найти область определения исходной функции.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
Функция $\operatorname{ctg} x$ определена при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Область определения $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = \pm 1$ и $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область является симметричной относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
На всей области определения $D(f)$ можно сократить дробь на $(x^2 - 1)$, так как этот множитель не равен нулю. $f(x) = \operatorname{ctg} x$ для всех $x \in D(f)$.
Теперь исследуем на четность функцию $g(x) = \operatorname{ctg} x$ на области $D(f)$.
$g(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x = -g(x)$.
Поскольку $f(x) = g(x)$ на $D(f)$, то и $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$.
Следовательно, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.