Страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют периодической?

Функцию $y = f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x + T) = f(x)$

При этом число $T$ называется периодом функции. Важным условием является то, что если $x$ принадлежит области определения, то числа $x + T$ и $x - T$ также должны ей принадлежать.

Если у функции есть период $T$, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$), также является её периодом. Например, $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$.

Наименьший положительный период функции, если он существует, называют основным (или главным) периодом.

Примеры периодических функций:

• Тригонометрические функции. Для функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ основным периодом является $2\pi$, так как для любого $x$ выполняются равенства $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.

• Для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ основной период равен $\pi$, так как $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ и $\cot(x + \pi) = \cot(x)$.

Графическое свойство:

График периодической функции с периодом $T$ обладает свойством повторяемости. Если построить часть графика на любом отрезке длиной $T$, например, на $[x_0, x_0 + T]$, то весь график можно получить путем параллельного переноса этого фрагмента вдоль оси абсцисс на расстояния $nT$ ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Периодической называют функцию $f(x)$, для которой существует такое ненулевое число $T$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

2. Что такое период функции?

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство: $$f(x + T) = f(x)$$ При этом важно, чтобы числа $x + T$ и $x - T$ также принадлежали области определения функции.

Если число $T$ является периодом, то и любое число вида $nT$ (где $n$ — целое, не равное нулю) также будет периодом. Например, $f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x)$.

Наименьший положительный из всех периодов функции называется её основным периодом. В задачах, как правило, под "периодом" подразумевают именно основной период.

Графическая интерпретация
График периодической функции обладает свойством трансляционной симметрии. Он состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если взять часть графика на любом отрезке, длина которого равна основному периоду $T$ (например, на отрезке $[x_0, x_0+T]$), и сдвигать (транслировать) этот фрагмент вдоль оси абсцисс ($Ox$) на расстояния, кратные $T$, то в результате получится весь график функции.

Примеры

• Функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ имеют основной период $T = 2\pi$. Для них выполняется $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
• Функции $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ имеют основной период $T = \pi$. Для них выполняется $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ и $\cot(x + \pi) = \cot(x)$.

Период функции $y = f(kx+b)$
Если известен основной период $T$ функции $f(x)$, то период функции, полученной из неё линейным преобразованием аргумента, $g(x) = f(kx + b)$, можно найти по формуле: $$T_g = \frac{T}{|k|}$$ Например, для функции $y = \cos(2x)$, основной период исходной функции $y = \cos(x)$ равен $T = 2\pi$, а коэффициент $k=2$. Следовательно, период функции $y = \cos(2x)$ будет равен $T_{new} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: Период функции — это ненулевое число $T$, такое, что значение функции не меняется при сдвиге её аргумента на $T$, то есть $f(x + T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Наименьший положительный такой период называется основным периодом. Периодичность означает, что график функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых частей.

3. Какое число называют главным периодом функции?

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Такое число $T$ называют периодом функции.

Важно понимать, что если у функции есть период $T$, то любое число вида $nT$ (где $n$ — любое целое число, не равное нулю, т.е. $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$) также будет её периодом. Например, для функции $f(x) = \sin(x)$ периодами являются числа $2\pi, 4\pi, -2\pi$ и так далее. Это следует из того, что $f(x + 2T) = f((x+T) + T) = f(x+T) = f(x)$.

Среди всего множества положительных периодов функции выделяют наименьший. Главным периодом (или основным периодом) функции называют наименьшее положительное число $T_0$, которое является её периодом. Формально, это число $T_0 > 0$, для которого выполняется $f(x + T_0) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, и при этом не существует другого положительного периода $T'$, такого что $0 < T' < T_0$.

Например:
- Для функций $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ главный период равен $2\pi$.
- Для функций $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ главный период равен $\pi$.

Следует отметить, что не всякая периодическая функция имеет главный период. Например, постоянная функция $f(x) = c$ (где $c$ — константа) является периодической, и её периодом может быть любое действительное число, кроме нуля. Поскольку не существует наименьшего положительного действительного числа, у этой функции нет главного периода.

Ответ: Главным периодом функции называют её наименьший положительный период.

4. Какое число является главным периодом функции $y = \sin x$? $y = \cos x$? $y = \operatorname{tg} x$? $y = \operatorname{ctg} x$?

y = sin x
Главный период (наименьший положительный период) функции $y = f(x)$ — это наименьшее положительное число $T$, для которого при любом $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции синуса значения повторяются каждые $2\pi$ радиан, что соответствует полному обороту на единичной окружности. Поэтому равенство $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ справедливо для любого $x$. Это означает, что $2\pi$ является периодом функции. Чтобы доказать, что это наименьший положительный период, предположим, что существует период $T_0$, такой что $0 < T_0 < 2\pi$. Тогда должно выполняться равенство $\sin(x + T_0) = \sin x$ для всех $x$. Возьмем $x = \frac{\pi}{2}$. Получим $\sin(\frac{\pi}{2} + T_0) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это возможно, только если $\frac{\pi}{2} + T_0 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Отсюда $T_0 = 2\pi k$. Но так как $0 < T_0 < 2\pi$, то для $T_0$ нет подходящего целого $k > 0$. Следовательно, наименьший положительный период не может быть меньше $2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

y = cos x
Как и для синуса, значения функции косинуса повторяются с периодом $2\pi$, то есть $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ для любого $x$. Чтобы доказать, что $2\pi$ — это главный период, предположим обратное: существует период $T_0$, где $0 < T_0 < 2\pi$. Тогда $\cos(x + T_0) = \cos x$ для всех $x$. При $x=0$ получаем $\cos(T_0) = \cos(0) = 1$. Решениями этого уравнения являются числа вида $T_0 = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Так как $T_0$ должно быть положительным, то наименьшее такое значение — $2\pi$ (при $k=1$). Это противоречит нашему предположению, что $T_0 < 2\pi$. Значит, главный период функции косинус равен $2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

y = tg x
Для функции тангенса $y = \text{tg } x$ проверим период $T = \pi$. Используя формулы приведения, получаем: $\text{tg}(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \text{tg } x$. Равенство выполняется, значит, $\pi$ является периодом. Чтобы доказать, что это главный период, предположим, что существует меньший положительный период $T_0$, где $0 < T_0 < \pi$. Тогда $\text{tg}(x + T_0) = \text{tg } x$ для всех $x$. При $x=0$ имеем $\text{tg}(T_0) = \text{tg}(0) = 0$. Решениями уравнения $\text{tg}(T_0) = 0$ являются числа вида $T_0 = \pi k$, где $k$ — целое число. Наименьшее положительное решение — $\pi$ (при $k=1$), что противоречит предположению $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, главный период тангенса равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

y = ctg x
Для функции котангенса $y = \text{ctg } x$ так же, как и для тангенса, проверим период $T = \pi$: $\text{ctg}(x + \pi) = \frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)} = \frac{-\cos x}{-\sin x} = \text{ctg } x$. Это означает, что $\pi$ является периодом. Докажем, что он наименьший положительный. Предположим, что существует период $T_0$ такой, что $0 < T_0 < \pi$. Тогда $\text{ctg}(x + T_0) = \text{ctg } x$ для всех $x$. При $x=\frac{\pi}{2}$ имеем $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + T_0) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Решениями уравнения $\text{ctg}(\alpha) = 0$ являются $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Таким образом, $\frac{\pi}{2} + T_0 = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $T_0 = \pi k$ для целого $k$. Наименьшее положительное решение — $\pi$, что противоречит предположению $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, главный период котангенса равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

17.1. Найдите значение выражения:

1) $\sin 390^{\circ}$;

2) $\cos 420^{\circ}$;

3) $\operatorname{tg} 780^{\circ}$;

4) $\operatorname{ctg} 405^{\circ}$;

5) $\cos (-750^{\circ})$;

6) $\sin (-390^{\circ})$;

7) $\operatorname{tg} (-210^{\circ})$;

8) $\operatorname{ctg} 225^{\circ}$;

9) $\cos 300^{\circ}$;

10) $\operatorname{tg} 150^{\circ}$;

11) $\cos \frac{11\pi}{6}$;

12) $\sin \frac{5\pi}{3}$.

1) Для нахождения значения $\sin 390^\circ$ воспользуемся свойством периодичности синуса. Период синуса равен $360^\circ$. Представим угол $390^\circ$ в виде суммы $360^\circ + 30^\circ$. Таким образом, $\sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ$. Табличное значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos 420^\circ$ воспользуемся свойством периодичности косинуса. Период косинуса равен $360^\circ$. Представим угол $420^\circ$ в виде суммы $360^\circ + 60^\circ$. Таким образом, $\cos 420^\circ = \cos(360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ$. Табличное значение $\cos 60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Для нахождения значения $\tg 780^\circ$ воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период тангенса равен $180^\circ$ (или $360^\circ$, так как $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$). Представим угол $780^\circ$ как $2 \cdot 360^\circ + 60^\circ$. Таким образом, $\tg 780^\circ = \tg(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \tg 60^\circ$. Табличное значение $\tg 60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Для нахождения значения $\ctg 405^\circ$ воспользуемся свойством периодичности котангенса. Период котангенса равен $180^\circ$. Представим угол $405^\circ$ как $2 \cdot 180^\circ + 45^\circ$. Таким образом, $\ctg 405^\circ = \ctg(2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \ctg 45^\circ$. Табличное значение $\ctg 45^\circ$ равно $1$.
Ответ: $1$.

5) Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому $\cos(-750^\circ) = \cos(750^\circ)$. Далее используем периодичность косинуса ($T=360^\circ$): $\cos(750^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ$. Табличное значение $\cos 30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-390^\circ) = -\sin(390^\circ)$. Далее используем периодичность синуса ($T=360^\circ$): $-\sin(390^\circ) = -\sin(360^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ$. Табличное значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, значит, итоговый результат $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

7) Функция тангенс является нечетной, то есть $\tg(-x) = -\tg(x)$. Поэтому $\tg(-210^\circ) = -\tg(210^\circ)$. Для нахождения $\tg(210^\circ)$ используем формулу приведения: $\tg(210^\circ) = \tg(180^\circ + 30^\circ) = \tg 30^\circ$. Угол $210^\circ$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Значит, $\tg(-210^\circ) = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

8) Для нахождения $\ctg 225^\circ$ используем формулу приведения. Представим $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$. Угол $225^\circ$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Таким образом, $\ctg 225^\circ = \ctg(180^\circ + 45^\circ) = \ctg 45^\circ = 1$.
Ответ: $1$.

9) Для нахождения $\cos 300^\circ$ используем формулу приведения. Представим $300^\circ$ как $360^\circ - 60^\circ$. Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Таким образом, $\cos 300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

10) Для нахождения $\tg 150^\circ$ используем формулу приведения. Представим $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Таким образом, $\tg 150^\circ = \tg(180^\circ - 30^\circ) = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

11) Для нахождения $\cos \frac{11\pi}{6}$ используем формулу приведения. Представим угол $\frac{11\pi}{6}$ как $2\pi - \frac{\pi}{6}$. Этот угол находится в IV четверти, где косинус положителен. Таким образом, $\cos\frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12) Для нахождения $\sin \frac{5\pi}{3}$ используем формулу приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Этот угол находится в IV четверти, где синус отрицателен. Таким образом, $\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.