Номер 17.1, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.1. Найдите значение выражения:

1) $\sin 390^{\circ}$;

2) $\cos 420^{\circ}$;

3) $\operatorname{tg} 780^{\circ}$;

4) $\operatorname{ctg} 405^{\circ}$;

5) $\cos (-750^{\circ})$;

6) $\sin (-390^{\circ})$;

7) $\operatorname{tg} (-210^{\circ})$;

8) $\operatorname{ctg} 225^{\circ}$;

9) $\cos 300^{\circ}$;

10) $\operatorname{tg} 150^{\circ}$;

11) $\cos \frac{11\pi}{6}$;

12) $\sin \frac{5\pi}{3}$.

1) Для нахождения значения $\sin 390^\circ$ воспользуемся свойством периодичности синуса. Период синуса равен $360^\circ$. Представим угол $390^\circ$ в виде суммы $360^\circ + 30^\circ$. Таким образом, $\sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ$. Табличное значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos 420^\circ$ воспользуемся свойством периодичности косинуса. Период косинуса равен $360^\circ$. Представим угол $420^\circ$ в виде суммы $360^\circ + 60^\circ$. Таким образом, $\cos 420^\circ = \cos(360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ$. Табличное значение $\cos 60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Для нахождения значения $\tg 780^\circ$ воспользуемся свойством периодичности тангенса. Период тангенса равен $180^\circ$ (или $360^\circ$, так как $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$). Представим угол $780^\circ$ как $2 \cdot 360^\circ + 60^\circ$. Таким образом, $\tg 780^\circ = \tg(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \tg 60^\circ$. Табличное значение $\tg 60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Для нахождения значения $\ctg 405^\circ$ воспользуемся свойством периодичности котангенса. Период котангенса равен $180^\circ$. Представим угол $405^\circ$ как $2 \cdot 180^\circ + 45^\circ$. Таким образом, $\ctg 405^\circ = \ctg(2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \ctg 45^\circ$. Табличное значение $\ctg 45^\circ$ равно $1$.
Ответ: $1$.

5) Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому $\cos(-750^\circ) = \cos(750^\circ)$. Далее используем периодичность косинуса ($T=360^\circ$): $\cos(750^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ$. Табличное значение $\cos 30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-390^\circ) = -\sin(390^\circ)$. Далее используем периодичность синуса ($T=360^\circ$): $-\sin(390^\circ) = -\sin(360^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ$. Табличное значение $\sin 30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, значит, итоговый результат $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

7) Функция тангенс является нечетной, то есть $\tg(-x) = -\tg(x)$. Поэтому $\tg(-210^\circ) = -\tg(210^\circ)$. Для нахождения $\tg(210^\circ)$ используем формулу приведения: $\tg(210^\circ) = \tg(180^\circ + 30^\circ) = \tg 30^\circ$. Угол $210^\circ$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Значит, $\tg(-210^\circ) = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

8) Для нахождения $\ctg 225^\circ$ используем формулу приведения. Представим $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$. Угол $225^\circ$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Таким образом, $\ctg 225^\circ = \ctg(180^\circ + 45^\circ) = \ctg 45^\circ = 1$.
Ответ: $1$.

9) Для нахождения $\cos 300^\circ$ используем формулу приведения. Представим $300^\circ$ как $360^\circ - 60^\circ$. Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Таким образом, $\cos 300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

10) Для нахождения $\tg 150^\circ$ используем формулу приведения. Представим $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Таким образом, $\tg 150^\circ = \tg(180^\circ - 30^\circ) = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

11) Для нахождения $\cos \frac{11\pi}{6}$ используем формулу приведения. Представим угол $\frac{11\pi}{6}$ как $2\pi - \frac{\pi}{6}$. Этот угол находится в IV четверти, где косинус положителен. Таким образом, $\cos\frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12) Для нахождения $\sin \frac{5\pi}{3}$ используем формулу приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Этот угол находится в IV четверти, где синус отрицателен. Таким образом, $\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.