Номер 17.3, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.3. На рисунке 17.4 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 3T]$.

Рис. 17.4

а

б

в

Для построения графика периодической функции на заданном промежутке необходимо использовать ее основное свойство: $f(x+T) = f(x)$, где $T$ — период функции. Это означает, что график функции повторяется на каждом интервале длиной $T$. Мы будем "копировать" данный нам участок графика, сдвигая его вдоль оси $x$ на $T, 2T, 3T, \dots$ вправо и на $-T, -2T, -3T, \dots$ влево.

а

На рисунке 'а' показан график функции на промежутке $[0, T]$. Длина этого промежутка равна $T$. Чтобы построить график на промежутке $[-2T, 3T]$, мы должны скопировать данный участок и сдвинуть его влево и вправо на целое число периодов.

1. Сдвигаем исходный участок на $T$ вправо, чтобы получить график на промежутке $[T, 2T]$.
2. Сдвигаем исходный участок на $2T$ вправо, чтобы получить график на промежутке $[2T, 3T]$.
3. Сдвигаем исходный участок на $T$ влево (или на $-T$), чтобы получить график на промежутке $[-T, 0]$.
4. Сдвигаем исходный участок на $2T$ влево (или на $-2T$), чтобы получить график на промежутке $[-2T, -T]$.

В результате на промежутке $[-2T, 3T]$ мы получим непрерывный график, состоящий из пяти одинаковых U-образных сегментов. Минимальные значения функции (нули) будут достигаться в точках $x = -\frac{3T}{2}, x = -\frac{T}{2}, x = \frac{T}{2}, x = \frac{3T}{2}, x = \frac{5T}{2}$.

Ответ: График на промежутке $[-2T, 3T]$ представляет собой пять последовательно соединенных U-образных кривых, аналогичных той, что изображена на исходном рисунке.

б

На рисунке 'б' показан график функции на полуинтервале $[-\frac{T}{3}, \frac{2T}{3})$. Длина этого промежутка равна $\frac{2T}{3} - (-\frac{T}{3}) = T$. Это один период функции.

Обратим внимание, что точка при $x = -\frac{T}{3}$ закрашена, а точка при $x = \frac{2T}{3}$ — выколота. Это означает, что в точках $x = \frac{2T}{3} + nT$ (где $n$ — целое число) функция имеет разрыв первого рода ("скачок"). Значение функции в конце периода $f(\frac{2T}{3})$ по свойству периодичности должно быть равно значению в начале периода $f(-\frac{T}{3})$.

Для построения графика на промежутке $[-2T, 3T]$ мы копируем данный участок, сдвигая его на $nT$ влево и вправо:

- Участок на $[ \frac{2T}{3}, \frac{5T}{3} )$ получается сдвигом исходного на $T$ вправо.
- Участок на $[ \frac{5T}{3}, \frac{8T}{3} )$ получается сдвигом исходного на $2T$ вправо.
- Часть участка от $x = \frac{8T}{3}$ до $x=3T$ получается сдвигом исходного на $3T$ вправо.
- Участок на $[ -\frac{4T}{3}, -\frac{T}{3} )$ получается сдвигом исходного на $T$ влево.
- Часть участка от $x = -2T$ до $x=-\frac{4T}{3}$ получается сдвигом исходного на $2T$ влево.

Ответ: График на промежутке $[-2T, 3T]$ будет состоять из повторяющихся убывающих кривых. В точках $x = -\frac{4T}{3}, -\frac{T}{3}, \frac{2T}{3}, \frac{5T}{3}, \frac{8T}{3}$ будут разрывы (скачки), где график "прыгает" с нижнего значения на верхнее.

в

На рисунке 'в' показан график функции на интервале $(-T, 0)$. Длина этого интервала равна $T$. График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = -T$ и $x = 0$.

Чтобы построить график на промежутке $[-2T, 3T]$, мы должны продублировать этот участок, сдвигая его на целое число периодов $T$.

1. Сдвиг вправо на $T$ дает нам график на интервале $(0, T)$.
2. Сдвиг вправо на $2T$ дает нам график на интервале $(T, 2T)$.
3. Сдвиг вправо на $3T$ дает нам график на интервале $(2T, 3T)$.
4. Сдвиг влево на $T$ дает нам график на интервале $(-2T, -T)$.

В результате мы получим график, состоящий из нескольких одинаковых ветвей. Функция будет не определена в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T, 3T$, и в этих точках будут находиться вертикальные асимптоты.

Ответ: График на промежутке $[-2T, 3T]$ состоит из пяти одинаковых возрастающих S-образных кривых, расположенных в интервалах $(-2T, -T)$, $(-T, 0)$, $(0, T)$, $(T, 2T)$ и $(2T, 3T)$. Эти кривые разделены вертикальными асимптотами в точках $x=nT$ для целых $n$ от -2 до 3.