Номер 17.7, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.7. Докажите, что число $\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$.

17.7. Чтобы доказать, что число $\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$, необходимо показать, что равенство $f(x + T) = f(x)$ при $T=\pi$ выполняется не для всех значений аргумента $x$ из области определения функции.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

В нашем случае $f(x) = \sin x$, и мы проверяем, является ли $T = \pi$ периодом. Для этого должно выполняться тождество $\sin(x + \pi) = \sin x$ для всех действительных чисел $x$.

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Применив её, мы получим: $\sin(x + \pi) = -\sin x$.

Таким образом, равенство $\sin(x + \pi) = \sin x$ может быть истинным только при условии, что $-\sin x = \sin x$. Это равенство эквивалентно уравнению $2\sin x = 0$, или $\sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются значения $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что равенство выполняется не для всех $x$, а лишь для избранных точек.

Чтобы строго доказать, что $\pi$ не является периодом, достаточно привести один контрпример — то есть найти такое значение $x$, для которого равенство $f(x+\pi)=f(x)$ не выполняется. Выберем для этого любое значение $x$, где $\sin x \neq 0$.

Например, возьмем $x = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение функции в этой точке: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Теперь найдем значение функции в точке $x + \pi$: $f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $1 \neq -1$, следовательно, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right)$.

Поскольку мы нашли значение $x$, для которого условие периодичности не выполняется, мы доказали, что число $\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$.

Ответ: Так как, например, для $x = \frac{\pi}{2}$ равенство $\sin(x+\pi) = \sin x$ не выполняется ($\sin(\frac{\pi}{2}+\pi) = -1$, а $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$), то число $\pi$ не является периодом функции $f(x)=\sin x$. Что и требовалось доказать.