Номер 18.2, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.2. Проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку:

1) $A\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)$;

2) $B(\pi; -1)$;

3) $C\left(\frac{23\pi}{6}; -\frac{1}{2}\right)$?

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = \sin x$ через заданную точку с координатами $(x_0; y_0)$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство $y_0 = \sin x_0$, то точка принадлежит графику функции. В противном случае — не принадлежит.

1) A($-\frac{\pi}{2}$; -1)
Проверим, проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку $A$ с координатами $x = -\frac{\pi}{2}$ и $y = -1$.
Подставим значение $x$ в функцию:
$y = \sin(-\frac{\pi}{2})$
Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$y = -\sin(\frac{\pi}{2})$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$y = -1$
Полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки $A$. Так как $-1 = -1$, равенство верное.
Ответ: да, проходит.

2) B($\pi$; -1)
Проверим, проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку $B$ с координатами $x = \pi$ и $y = -1$.
Подставим значение $x$ в функцию:
$y = \sin(\pi)$
Известно, что значение синуса для угла $\pi$ равно 0:
$y = 0$
Полученное значение $y$ не совпадает с ординатой точки $B$. Так как $0 \neq -1$, равенство неверное.
Ответ: нет, не проходит.

3) C($\frac{23\pi}{6}$; $\frac{1}{2}$)
Проверим, проходит ли график функции $y = \sin x$ через точку $C$ с координатами $x = \frac{23\pi}{6}$ и $y = \frac{1}{2}$.
Подставим значение $x$ в функцию:
$y = \sin(\frac{23\pi}{6})$
Функция синуса периодична с периодом $2\pi$. Мы можем упростить аргумент, выделив целое число периодов. $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.
$\frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi - \pi}{6} = \frac{24\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}$.
$y = \sin(4\pi - \frac{\pi}{6})$
Так как $4\pi$ это два полных периода ($2 \cdot 2\pi$), мы можем его отбросить, используя периодичность синуса:
$y = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$):
$y = -\sin(\frac{\pi}{6})$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$y = -\frac{1}{2}$
Полученное значение $y$ не совпадает с ординатой точки $C$. Так как $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$, равенство неверное.
Ответ: нет, не проходит.