Номер 18.7, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.7. Какие из данных промежутков являются промежутками убывания функции $y = \cos x$:

1) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$;

2) $[-2\pi; -\pi]$;

3) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

4) $[6\pi; 7\pi]$?

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = \cos x$ убывает, необходимо найти промежутки, на которых ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.

Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.

Решим неравенство:

$-\sin x \le 0$

$\sin x \ge 0$

Синус неотрицателен, когда его аргумент находится в первой или второй координатных четвертях. В общем виде эти промежутки можно записать как $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь проанализируем каждый из предложенных промежутков.

Этот промежуток можно записать как $[-2.5\pi; -1.5\pi]$. Чтобы проверить, является ли он промежутком убывания, нужно определить знак $\sin x$ на нем. Рассмотрим часть этого промежутка, например, от $-2.5\pi$ до $-2\pi$. Углы на этом отрезке соответствуют четвертой координатной четверти (например, угол $-2.25\pi$ эквивалентен углу $-0.25\pi = -\frac{\pi}{4}$). В четвертой четверти $\sin x < 0$. Поскольку на части промежутка $[-\frac{5\pi}{2}; -2\pi]$ выполняется условие $\sin x < 0$, то производная $y' = -\sin x > 0$. Это означает, что на этой части функция $y = \cos x$ возрастает. Следовательно, весь промежуток $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$ не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

Сравним этот промежуток с общей формулой для промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = -1$, то получим: $[2\pi(-1), \pi + 2\pi(-1)] = [-2\pi, -\pi]$. Данный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков, где функция $y = \cos x$ убывает. На этом промежутке $\sin x \ge 0$, а значит $y' = -\sin x \le 0$.

Ответ: является.

Рассмотрим промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Он состоит из двух частей: $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ и $[0; \frac{\pi}{2}]$. На части $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ угол $x$ находится в четвертой координатной четверти, где $\sin x \le 0$. На этом отрезке производная $y' = -\sin x \ge 0$ (причем $y'>0$ на $(-\frac{\pi}{2}; 0)$), что означает, что функция возрастает. Поскольку на части промежутка функция возрастает, весь промежуток не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

Сравним этот промежуток с общей формулой для промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = 3$, то получим: $[2\pi(3), \pi + 2\pi(3)] = [6\pi, 7\pi]$. Данный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков, где функция $y = \cos x$ убывает. На этом промежутке $\sin x \ge 0$, а значит $y' = -\sin x \le 0$.

Ответ: является.